АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОЛЯ
Когда Гильберт, покончив с инвариантами, обратился к теории алгебраических числовых полей, эта теория покоилась в основном на доказанной более сорока лет назад теореме Дирихле о единицах и идеальных дивизорах, введенных Куммером, Дедекиндом и Кронекером. Основным объектом её изучения являются алгебраические поля k над полем рациональных чисел Q. Один из самых важных общих фактов, относящихся к основаниям, был открыт Дедекиндом. Он показал, что простые делители дискриминанта — это в точности те простые числа, разложение которых в произведение простых идеалов в поле k содержит кратные сомножители (разветвлённые простые числа). Если l — простое рациональное число, то добавление к k корня l-й степени из числа ?, принадлежащего k, определяет относительное циклическое поле K = k(?1/l) степени l над k при условии, что k содержит корень l-й степени из единицы ? = e2?i/l (согласно Лагранжу, любое относительное циклическое поле степени l над k получается таким образом). Надо отметить, что именно последнее обстоятельство заставило Куммера при его попытках доказать теорему Ферма о невозможности решения уравнения ?l + ?l = ?l перейти от поля рациональных чисел Q к круговому полю kl = Q(?) и затем ввести свои идеальные числа с тем, чтобы определить, взаимно ли просто с l количество классов эквивалентности таких чисел в kl. Гильберт вошел в эту область, резюмировав результаты Куммера о циклических полях степени l над полем kl, которые он назвал «куммеровыми полями».
Его первым важным собственным достижением явилась теория относительных полей Галуа K данного алгебраического числового поля k. В основном он интересовался связью группы Галуа ? поля K/k с разложением простых идеалов поля k в поле K. Для любого простого идеала B относительной степени f в поле K подстановки s из ? со свойством sB = B образуют группу разложения. Как обычно в теории Галуа, этой группе соответствует некоторое подполе поля K/k (поле разложения). Элемент из K принадлежит этому полю, если он инвариантен относительно всех подстановок из группы разложения. Множество подстановок t, переводящих каждое целое число A поля K в число tA, сравнимое с A по mod B, образует инвариантную подгруппу группы разложения индекса f, которая называется группой инерции. Соответствующее поле (поле инерции) зажато между полем разложения и полем K. Пусть p — простой идеал в k и Bl — точная степень B, делящая p. Я дам представление о характере результатов Гильберта, сформулировав следующий его центральный результат. В поле разложения идеала B разложение простого идеала p на простые множители содержит простой идеал p* = Be степени 1 (отсюда название такого поля!); при переходе от поля разложения к полю инерции идеал p* остается простым, но его степень увеличивается до f; при переходе от поля инерции к полю K идеал p* распадается на e простых сомножителей B одинаковой степени f. Для дальнейшего я добавлю следующее замечание. Если B входит в разложение p только в первой степени, т.е. e=1 (что всегда выполняется, если p не делит относительный дискриминант поля K/k), то группа инерции состоит только из единичного элемента. В этом случае теория конечных полей Галуа показывает, что группа разложения является циклической порядка f, а её элементы 1, s, s2, ..., s f–1 однозначно определяются сравнениями
sA ? AP, s2A ? AP?, ... (mod B)
|
справедливыми для любого целого числа A. Здесь P обозначает число вычетов в k по модулю p и, тем самым, Pf совпадает с числом вычетов в K по модулю B. Сегодня мы называем элемент s = ?(B) подстановкой Фробениуса идеала B. При этом особо важным является то, что некоторый специальный элемент группы разложения может быть выделен среди всех остальных. Сразу же видно, что для любого элемента u группы Галуа ?(uB) = u–1?(B)u. Таким образом, если поле Галуа K/k является абелевым, то подстановка ?(B) = ?(uB) зависит только от p и может быть обозначена через ( |