Разработанная Гильбертом теория норменных символов основана на следующих его собственных открытиях: (1) он осознал основную идею и определил символ норменного вычета для всех неисключительных простых идеалов; (2) он понял необходимость введения бесконечных простых точек; (3) он сформулировал общий закон взаимности в терминах норменного символа; (4) он увидел, что этот закон позволяет распространить определение норменного символа на исключительные простые идеалы, в которых и сосредоточен главный интерес. Существенный прогресс произошел после того, как Э. Артин позже (5) взял за значение символа вычета не корни из единицы, а элементы группы Галуа. В своём наброске проблем, поставленных Гильбертом, я воспользуюсь этой идеей Артина, а также упрощающим языком (6) p-адических чисел Гензеля и (7) иделей Шевалле 11.
Как хорошо известно, целое число a, не делящееся на простое число p?2, называется квадратичным вычетом, если сравнение x2 ? a(mod p) разрешимо. Гаусс ввел символ
(
a p
) ,
равный +1 или –1 в зависимости от того, является ли a квадратичным вычетом или невычетом по mod p. Он же заметил, что тот является характером,
|
( |
a p |
) |
· |
( |
a' p |
) |
= |
( |
aa' p |
) |
. |
Действительно, p вычетов по mod p, в качестве представителей которых можно взять числа 0, 1, ..., p–1, образуют поле, а ненулевые элементы этого поля образуют группу, в которой квадратичные вычеты составляют подгруппу индекса 2. Пусть K = Q(vb) — квадратичное поле, которое получается из поля рациональных чисел Q присоединением квадратного корня из рационального числа b. Целое число ??0 Гильберт называет p-адической нормой в K, если по модулю любой степени p оно сравнимо с нормой некоторого целого числа в K. Он полагает
|
( |
a, K p |
) |
= |
i |
+1, если a является p-адической нормой, |
|
i |
|||||
|
i |
–1 в противном случае |
и показывает, что этот p-адический норменный символ также является характером. Систематическое изучение чисел по модулю произвольных степеней простых чисел p было проведено К. Гензелем в рамках его p-адических чисел, и я повторю на этом языке определение Гильберта: «Рациональное число a ? 0 или, более общо, p-адическое число ap ? 0 является p-адической нормой в поле K, если уравнение
ap = Nm (x + yvb) = x2 – by2
имеет p-адическое решение x = xp, y = yp; норменный символ (ap, K) равен +1 или –1 в соответствии с тем, является ли ap p-адической нормой в K или нет».
p-адические числа образуют поле Q(p), а p-адические нормы составляют в его мультипликативной группе Gp ненулевых чисел подгруппу индекса 1 или 2. Цикличность факторгруппы является существенным обстоятельством. Легко видеть, что p-адические квадраты образуют подгруппу Gp2 индекса 4, если p ? 2, и 8, если p = 2, а факторгруппа Gp/Gp2 не является циклической и, следовательно, не может быть описана одним-единственным характером. Разумеется, каждый p-адический квадрат является p-адической нормой в K. Оба шага, замена квадратов K-нормами и переход от модуля p к произвольно большим степеням p, из которых первый позволяет ослабить, а второй усилить условие Гаусса для квадратичного вычета, одинаково существенны для успеха введённого Гильбертом определения.