Каждое p-адическое число ap ? 0 представимо в виде phep, где ep — p-адическая единица, тем самым ap имеет определённый порядок h (относительно p). Каждое обыкновенное рациональное число a совпадает с некоторым p-адическим числом Ip(a) = ap. Здесь Ip обозначает гомоморфизм вложения поля Q в поле Q(p):
Ip(a + a?) = Ip(a) + Ip(a?), Ip(aa?) = Ip(a)Ip(a?).
|
Характер ( |
a, K p |
) |
обозначается также через (Ip(a), K).
Мы подходим ко второму открытию Гильберта; он пришёл к заключению, что нельзя получить простые законы, пока мы не добавим к «конечным простым точкам» p одну бесконечную простую точку q. По определению q-адические числа являются вещественными числами, a Iq(a) — рациональное число, совпадающее с самим a.
Таким образом, вещественное число является q-адической нормой в K, если уравнение aq = x2 – by2 имеет решение в вещественных числах x, y. Ясно, что при b > 0, т.е. в случае вещественного поля K, это выполняется для всех aq. Если же b < 0, т.е. K — мнимое поле, то только положительные числа aq являются q-адическими нормами.
Тем самым,
|
(aq, K) = |
i |
1, если K вещественное, |
|
i |
||
|
i |
sgn aq, если K мнимое. |
Тот факт, что норменный символ является характером, для бесконечной простой точки проверяется, тем самым, намного легче, чем для конечных точек.
Третье замечание Гильберта состоит в том, что закон взаимности Гаусса вместе с двумя его дополнениями может быть записан следующей изящной формулой:
|
(3) |
||||||||||||||
где произведение берётся по всем конечным и бесконечным простым точкам p. Это произведение вполне определено, так как почти все множители (т.е. все, за исключением конечного числа) равны 1. Действительно, если p не входит в дискриминант поля K, то (ap, K) = 1 для любой p-адической единицы ap. Формула (3) является первым настоящим успехом идеи норменного символа. Она дала Гильберту уверенность в том, что высшие законы взаимности должны формулироваться в терминах норменных вычетов.
Каждое рациональное число a определяет для каждой простой точки p p-адическое число ap = Ip(a). Какие свойства этого сопоставления используются при образовании произведения (3)? Очевидный ответ на этот вопрос даёт понятие иделя, введённое Шевалле: идель a есть функция, ставящая в соответствие каждой точке p некоторое p-адическое число ap ? 0, которое является p-адической единицей почти для всех p. Относительно операции умножения функций идели образуют группу Jk. Соответствие p ap = Ip(a) определяет для каждого рационального числа a ? 0 некоторый идель, называемый главным иделем a. Для иделей a мы можем снова вернуться к нашим прежним обозначениям
|
( |
a, K p |
) |
вместо (ap, K). Формула
|