?
( ap, K) =
?
(
a, K p
)
p
p
(4)
определяет характер ?K, норменный характер на группе Jk всех иделей. Закон взаимности в форме Гильберта (3) утверждает, что для главных иделей a
|
(a, K) = 1. |
(5) |
По самому определению норменного символа (ap, K) это же равенство имеет место, если a является нормой в K, т.е. для любой точки p ap есть p-адическая норма в K. Два иделя a и a? называются эквивалентными, если их отношение a?a–1 является главным иделем. Обозначим, через Nm JK группу всех иделей, эквивалентных нормам в K. Тогда равенство (5) имеет место для всех иделей a из Nm JK, и было бы интересно узнать, только ли для них это верно, или, другими словами, узнать, является ли Nm JK подгруппой индекса 2 в группе Jk.
Теперь мы достигли такого уровня, когда наш опыт обращения с квадратичным полем K над основным рациональным полем Q позволяет нам перейти к произвольному относительному абелеву полю K над заданным алгебраическим числовым полем k = Q(?). Прежде всего надо сказать о бесконечных простых точках поля k. Его определяющее уравнение f (?) = 0 есть неприводимое уравнение в поле Q некоторой степени m и, тем самым, имеет в множестве комплексных чисел m различных корней ??, ??, ..., ?(m). Предположим, что r из них вещественны, пусть это будут ??, ..., ?(r). Каждый элемент ? из k имеет r вещественных сопряжённых элементов ??, ..., ?(r). При этом ?(t) определяется как образ ? при гомоморфизме I(t) из k в поле вещественных чисел:
? ?(t) = I(t)(?) (t = 1, ..., r).
Тем самым, мы говорим об r вещественных бесконечных простых точках q?, .., q(r) с соответствующими гомоморфизмами I? = Iq?, ..., I(r); поля k(q?), ..., k(q(r)) отождествляются с полем вещественных чисел. Тем самым, ? является n-й q?-адической степенью, если уравнение ?? = ??n имеет вещественное решение. Ясно, что это условие нетривиально только для чётных n и эквивалентно в этом случае условию положительности ??. (В комплексной области это уравнение всегда разрешимо вне зависимости от четности n, и именно поэтому мы полностью исключаем из рассмотрения комплексные бесконечные точки.)
Конечные простые точки — это простые идеалы B поля k. При изучении полей Галуа K/k степени n мы вначале исключаем из рассмотрения разветвлённые идеалы p, входящие в относительный дискриминант поля K/k. Каждый неразветвлённый идеал p поля k распадается в K на некоторое число q различных простых идеалов B1, ..., Bq относительной степени f , при этом fq = n. Легко видеть, что p-адическое число ?p ? 0 является p-адической нормой в K тогда и только тогда, когда его порядок (в p) кратен f . В частности, p-адические единицы являются нормами. Таким образом, мы оказываемся в значительно более простой ситуации, чем при определении гауссова символа квадратичного вычета: норменный характер числа ?p зависит только от порядка i этого числа в точке p. Теперь ясно, как надо поступать: мы выбираем первообразный корень f -й степени из единицы ? и полагаем (?p, K) = ?i, если порядок ?p равен i. Построенная функция от ?p является характером и принимает значение 1 на нормах и только на них. Но здесь возникает загвоздка: не существует никакого алгебраического свойства, позволяющего отличать друг от друга несколько первообразных корней f -й степени из единицы. Тем самым, мы имеем произвол в выборе ?. С этим ещё можно было бы смириться, если бы мы имели дело только с одним простым идеалом. Но когда нужно принимать во внимание все простые идеалы, образовывая произведения типа (4), эта неопределённость, казалось бы, уничтожает все надежды на получение простого закона взаимности типа (5). Я не буду описывать тех ухищрений, с помощью которых Эйзенштейну, Куммеру и Гильберту удалось выйти из этого трудного положения. Намного лучшее решение было найдено Артином. Если поле K/k абелево, то для K и p однозначно определена подстановка Фробениуса K/p, которая является элементом порядка f группы Галуа ? расширения K/k. Пусть этот элемент и явится заменой ? в нашем окончательном определении p-адического норменного символа:
|
|