Гильберт

(?_p, K) =

(

?, K p

)

=

(

K p

)

ⁱ

,

(6)

если порядок ?_p в p равен i. Теперь для любого иделя ? мы можем образовать произведение

?	(?p, K) =	?	(	?, K p	)	= (?, K),
p		p

распространённое по всем конечным и бесконечным (вещественным) простым точкам p, и сформулировать закон взаимности, утверждающий, что (?, K) = 1 для любого главного иделя ?. Всё это было бы хорошо, если бы мы только не исключили в нашем определении (?_p, K) некоторых специальных p, а именно бесконечных точек и разветвлённых простых идеалов. В одном специальном случае с помощью чрезвычайно сложных вычислений Куммеру удалось дать правильное определение (?_p, K) для исключительных p. Четвёртое открытие Гильберта состоит в изобретении простого и остроумного приёма, позволившего преодолеть это трудное препятствие, ставшее на пути дальнейшего прогресса. Ограничимся вначале иделями, являющимися n-ми степенями в наших исключительных точках. Другими словами, предположим, что уравнение ?_p = ?_pⁿ разрешимо для p-адических значений ?_p иделя ? для этого конечного числа точек. В этом случае определить (?, K) не представляет никакого труда:

(?, K) =	?	?	(?p, K) ;
	p

штрих здесь означает, что произведение берется только по неисключительным простым точкам, где мы знаем определение (?_p, K). При тех же ограничениях мы доказываем (вместе с Артином) закон взаимности

(?, K) = 1, если ? главный,

(7)

и замечаем, что, по определению, (?, K) = 1, если ? — норма. Вернёмся к произвольному иделю ?. Легко видеть, что существует эквивалентный идель ?* ~ ?, который является n-й степенью для всех исключительных простых точек, хотя таких ?* будет, разумеется, бесконечное число. Тем не менее ограниченный закон взаимности гарантирует нам, что

(?*, K) =	?	?	(?p*, K)
	p

принимает одинаковое значение для всех таких ?*. Именно это значение мы и возьмём за определение (?, K). Приняв это определение, мы получаем, что закон взаимности (7) и утверждение, что (?, K) = 1 для любой нормы, имеют место без всяких дополнительных предположений. Таким образом, сам закон взаимности становится средством для того, чтобы можно было следить за исключительными точками!

Если значение (?, K) становится известным для любого иделя ?, мы можем вычислить (?_p, K) для заданной точки p и заданного p-адического числа ?_p ? 0, взяв значение (?, K) на «примарном» иделе, также обозначаемом через ?_p, равным ?_p в точке p и 1 во всех остальных простых точках. (Идель ? является произведением своих примарных компонент ?_p.) Можно ожидать, что будут выполняться следующие два свойства: