Гильберт

I. (?_p, K) = 1 тогда и только тогда, когда ?_p является p-адической нормой.

II. Для данного простого идеала p (?_p, K) = 1 для каждой p-адической единицы ?_p тогда и только тогда, когда p неразветвлён.

Выше уже были установлены условия достаточности из I и II:

(I₀) если ?_p — норма, то (?_p, K) = 1;

(II₀) если p неразветвлён, то (?_p, K) = 1 для каждой p-адической единицы ?_p.

Обратное утверждение к (I₀) тривиально для неисключительных точек, но для исключительных точек из-за неявного определения норменного символа доказательство обратных утверждений к (I₀) и (II₀) довольно сложно. Утверждение II показывает, что для любого простого разветвлённого идеала p норменный характер ?_p зависит не только от порядка ?_p; тем самым то простое свойство, которое делает возможным определение (6), распространяется только на неразветвлённые идеалы p. Можно было бы надеяться также на справедливость утверждения:

III. Если главный идель ? является идельной нормой в поле K, то число ? есть норма в K.

Это верно для циклических полей K/k, но, вообще говоря, неверно для произвольных абелевых полей.

Обозначим снова через Nm J_K подгруппу группы J_k, состоящую из иделей, эквивалентных нормам. Тогда норменный символ ?_K(?) = (?, K) определяет гомоморфное отображение факторгруппы J_k/Nm J_K в группу Галуа поля K/k. Можно было бы надеяться, что это отображение взаимно однозначно:

IV. Отображение норменного символа устанавливает изоморфизм факторгруппы J_k/Nm J_K на группу Галуа поля K/k.

Утверждения I, II, III_c (индекс c означает ограничение циклическими полями) и IV составляют основные предложения того, что можно назвать норменной теорией относительных абелевых полей. Они справедливы для каждого такого поля K/k.

Имеется другая часть этой теории, собственно теория полей классов, которая относится к вопросу о связи множества всевозможных относительных абелевых полей K над k со структурой группы J_k иделей поля k. Каждое такое поле K определяет, как мы видели выше, подгруппу конечного индекса Nm J_K группы J_k. Возникает вопрос: какие именно подгруппы J_k^* группы J_k получаются таким способом из абелевых полей K/k? Ясно, что необходимыми условиями являются следующие:

1)	Каждый главный идель принадлежит Jk*.
2)	Существует такое натуральное число n, что каждая n-я степень иделя принадлежит Jk*.
3)	Существует такое конечное множество точек S, что ?IJk*, если ? является единицей во всех точках и равно 1 для точек из S.

Основная теорема теории полей классов утверждает, что эти условия являются также и достаточными.

V. Для любой подгруппы J_k^* группы J_k, удовлетворяющей трём предыдущим условиям (и, в частности, конечного индекса), существует однозначно определённое абелево поле K/k такое, что J_k^* = Nm J_K.

Разобьём множество иделей на классы, относя два иделя к одному классу, если их частное принадлежит группе J_k^*. Тогда факторгруппа J_k/J_k^* называется группой классов, а соответствующее поле K — полем классов. Самый важный пример получается, если взять за J_k^* группу всех единичных иделей ?, значения ?_p которых являются p-адическими единицами во всех простых точках p ¹². В этом случае соответствующие классы совпадают с обычными классами идеалов: два идеала принадлежат одному классу, если их частное является главным идеалом (?), где число ? положительно для всех вещественных бесконечных простых точек. Соответствующее поле классов K, так называемое абсолютное поле классов, имеет относительный дискриминант, равный единице, и представляет собой максимальное неразветвлённое абелево поле над k (теорема II). Его степень n над k равна числу классов идеалов, а группа Галуа изоморфна группе классов идеалов поля k (теорема IV). Если f — наименьшая степень, после возведения в которую идеал p попадает в подгруппу главных идеалов, то p разлагается в произведение n/f различных простых идеалов в K, каждый из которых имеет относительную степень f . Последнее утверждение есть не что иное, как повторение норменного определения поля классов. Таким образом, разложение идеала p в поле K зависит только от того класса, к которому принадлежит p. Замена идеалов на идели даёт самый простой подход к обобщению этой теоремы с неразветвлённого случая, которым в основном занимался Гильберт, на разветвлённый случай, изученный Такаги. Гильберт высказал, кроме того, утверждение, что каждый идеал поля k становится главным в абсолютном поле классов. Мы умеем сегодня доказывать это утверждение, однако с помощью ещё не понятых до конца рассуждений, выходящих за рамки абелевых полей.