Из чего строятся модели? Клейнова модель неевклидовой геометрии может пониматься как демонстрация того, что любой, кто признает евклидову геометрию с её точками, прямыми и т.п., может равным образом получить и неевклидову геометрию простой сменой терминологии. Сам Клейн предпочитал другую интерпретацию в терминах проективного пространства. Однако аналитическая геометрия Декарта давно предлагала более общий и удовлетворительный путь, безусловно известный Риману, Клейну и многим другим: всё, что нам нужно для наших конструкций, — это поле вещественных чисел. Поэтому любое противоречие в евклидовой геометрии должно обязательно проявиться как противоречие в аксиомах арифметики, на которых основаны наши действия с вещественными числами. Никто до Гильберта так ясно этого не высказал. Он формулирует полный и простой список аксиом для вещественных чисел. Система арифметических аксиом обладает такими же заменяемыми частями, как и система геометрических аксиом. С чисто алгебраической точки зрения самыми важными аксиомами являются аксиомы (коммутативного или некоммутативного) поля. Любое такое абстрактное числовое поле может служить основой для построения соответствующих геометрий. Vice versa 16 можно определять числа и операции над ними, исходя из некоторого пространства, удовлетворяющего определенным аксиомам. Дезаргово Streckenrechnung 17, которым пользовался Гильберт, служило тому прекрасным примером. В общем случае этот обратный процесс намного сложнее. Чикагская школа Э. Г. Мура продолжила исследования Гильберта, а О. Веблен, в частности, много сделал для того, чтобы вскрыть полное соответствие между проективными пространствами, удовлетворяющими некоторым простым аксиомам инцидентности (без аксиом порядка), и абстрактно определяемыми числовыми полями 18.
Буквально, вопрос о независимости есть вопрос о доказательстве невозможности вывода одного утверждения из других. При этом объектом исследования становятся сами утверждения, а не те объекты, к которым они относятся; предварительно же мы тщательно анализируем логический механизм дедукции. Метод моделей представляет собой удивительный трюк, позволяющий избавиться от такого рода логических исследований. Однако за этот отход от основной проблемы приходится дорого платить: мы сводим всё к вопросу непротиворечивости арифметических аксиом, который остается открытым. Аналогичным образом утверждение о полноте, буквально означающее, что каждое общее утверждение об объектах, участвующих в аксиомах, может быть выведено из них, заменяется на категоричность (по Веблену). Последнее означает, что любая возможная модель изоморфна одной-единственной модели, с помощью которой доказывалась непротиворечивость. В этом плане Гильберт доказывает, что существует только «одна», декартова геометрия, удовлетворяющая всем его аксиомам. Только в случае конечных проективных пространств Дж. Фано и О. Веблена, например проективной плоскости из семи точек, модель является чисто комбинаторной схемой и вопросы непротиворечивости, независимости и полноты могут быть решены в абсолютном смысле. Сам Гильберт, по-видимому, никогда не думал об иллюстрации своей концепции аксиоматического метода с помощью чисто комбинаторных схем, хотя они и представляют собой самые простые примеры.
Подход к основаниям геометрии, совершенно отличный от того, который был изложен в его книге, был предложен Гильбертом в одной работе, являющейся одним из самых ранних документов теоретико-множественной топологии. С точки зрения механики главной задачей для геометрии является возможность описания движения твердого тела. Такова была точка зрения Гельмгольца, охарактеризовавшего группы движения евклидова пространства с помощью нескольких простых аксиом. Эту проблему продолжал разрабатывать и Софус Ли в связи со своей общей теорией непрерывных групп. Теория Ли зависит от некоторых предположений дифференцируемости; в одной из своих Парижских проблем Гильберт предложил избавиться от них. В упомянутой работе ему это удалось в случае проблемы Гельмгольца для плоскости. Доказательство трудное и утомительное; вполне естественно, что теперь условие непрерывности кладется в основу определения и не играет той решающей роли, как это было в его «Основаниях». Другие авторы, Р. Л. Мур, Н. Дж. Леннес, В. Зюс, Б. фон Керекьярто, значительно разработали проблему, следуя этим топологическим соображениям. Быть может, будет интересно добавить немного личных воспоминаний. Гильберт определяет двумерное многообразие с помощью окрестностей, требуя выделения некоторого класса «допустимых» взаимно однозначных отображений каждой окрестности на некоторую жорданову область в декартовой плоскости, связанных друг с другом непрерывными преобразованиями. Когда в 1912 году я читал в Гёттингене курс по римановым поверхностям, я обратился к работе Гильберта и заметил, что сами эти окрестности могут служить определением этого класса отображений. Окончательное определение было дано затем Ф. Хаусдорфом; аксиомы Хаусдорфа определили лицо топологии 19. (Однако, когда нам приходится определять дифференцируемое многообразие, мы до сего дня придерживаемся косвенного определения Гильберта; ср. О.Веблен и А.Н.Уайтхед, Основания дифференциальной геометрии, М., ИЛ, 1949.)