Фундаментальный вопрос об абсолютном доказательстве непротиворечивости аксиом, который должен был лечь в основу всего математического анализа и даже канторовской теории множеств во всей её безумной общности, постоянно находился в воображении Гильберта, о чем свидетельствует его доклад на международном конгрессе в Гейдельберге 1904 году. Из него видно, что он уже был на этом пути, хотя и далеко от цели. Затем наступило время, когда его всецело захватили интегральные уравнения, а позже физика. Спустя некоторое время, в 1917 году, послышался его громкий голос о старой проблеме в цюрихской речи Axiomatisches Denken 20. К тому времени трудности, связанные с основаниями математики, достигли критического состояния и положение дел взывало о помощи. Под влиянием неотразимых парадоксов в теории множеств Дедекинд и Фреге отказались от своей работы по природе чисел и арифметических утверждений: Бертран Рассел указал на иерархию типов, которые, не будучи «ограничены» грубой силой, подрывали арифметическую теорию континуума. Наконец, Л. Э. Я. Брауэр своим интуиционизмом открыл нам глаза и заставил увидеть, насколько общепринятая математика идет дальше таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на очевидности. Мне жаль, что в своей оппозиции Брауэру Гильберт никогда открыто не признал того большого долга, который он, равно как и другие математики, имел перед Брауэром за это открытие.
Гильберт не хотел приносить тяжелые жертвы, которых требовала точка зрения Брауэра. Он увидел, по крайней мере в общих чертах, тот путь, который позволит избежать этого жестокого увечья. В то же время он был обеспокоен признаками колебания в среде математиков, ряд которых открыто встал на сторону Брауэра. Моя собственная статья о
Grundlagenkrise 21 в Math. Z. 10 (1921), написанная в первые беспокойные послевоенные годы в Европе, характерна для тех настроений. В результате всего этого Гильберт всерьёз возвращается к проблемам оснований. Он уверен, что абсолютная строгость может быть восстановлена без «совершения предательства нашей науки». В его голосе, произносящем «die Grundlagenfragen einfurallemal aus der Welt zn schaffen» 22, слышится гнев и решимость. «Запретить математику использовать принцип исключенного третьего, — говорит он, — всё равно что запретить астроному пользоваться телескопом или боксеру кулаками». Гильберт сознавал, что сами математические утверждения не могут стать объектами математического исследования, предназначенного доказать их непротиворечивость в первоначальном смысле, пока они не будут сведены к простым формулам. Алгебраические формулы типа a+b=b+a представляют собой самые привычные примеры. Процесс логического вывода, с помощью которого первоначально полученные формулы дают новые формулы, должен быть описан без всякого упоминания значения этих формул. Этот процесс должен начинаться с некоторых основных формул, аксиом, которые должны быть явно выписаны. Так, в его Основаниях геометрии значение геометрических терминов стало несущественным, хотя смысловое значение таких логических терминов, как «и», «не», «если..., то...», всё ещё сохранялось. Теперь же предлагалось уничтожить всякие следы наличия смысла. В частности, логические символы, такие, как в ab (читается: «из a следует b»), являются составной частью формул. Гильберт полностью согласен с Брауэром в том, что огромное большинство математических утверждений не имеет «реального» характера утверждений, передающих определенное содержание, основанное на очевидности. Однако он настаивает на том, что нереальные, «идеальные утверждения» необходимы для «полноты» нашей математической системы. Он противостоит Брауэру, который просил нас отбросить то, что не имеет смысла, тем, что полностью избавляется от притязаний на содержательность, пытаясь доказывать не истинность отдельного математического предложения, а непротиворечивость системы. Он уверен, что игра в дедукцию, проводимая по правилам, никогда не приведет к формуле 0?0. В этом смысле и только в этом он обещает спасти взращенную нами классическую математику. Тем, кто обвиняет его в стремлении свести математику к сплошной игре, он прежде всего указывает на то, что введение идеальных элементов в целях полноты является общим методом во всех областях математики — например, идеальные точки вне достижимой области пространства, без которых последнее было бы неполным; далее он отмечает, что в смежной с математикой науке, физике, также сверяют с экспериментом не отдельные утверждения, а всю систему в целом.