Но как можно убедиться в том, что «дедуктивная игра» никогда не приведет к противоречию? Не придется ли нам это доказывать с помощью дедукции из аксиом, т.е. тем же математическим методом, справедливость которого мы подвергаем сомнению? Ясно, что это привело бы к регрессу ad infinitum 23. Должно быть, Гильберту, как поборнику аксиоматического метода, было трудно признать, что вопрос о непротиворечивости приходилось решать с помощью интуитивного рассуждения, основанного не на аксиомах, а на очевидности. Однако, в конце концов, неудивительно, что окончательное слово должно оставаться за всевидящим интеллектом. Уже при сообщении правил игры нам приходится рассчитывать на него. Игра происходит без слов, но правила должны быть сказаны, а любое суждение об этой игре, в частности о её непротиворечивости, должно быть высказано словами. Кстати, описывая интуитивную основу для своей Beweistheorie 24, Гильберт демонстрирует выдающееся мастерство в этом, увы, столь неопределенном средстве сообщения, как язык. Относительно того, что он считает очевидным в своих «метаматематических» рассуждениях, Гильберт более авторитетен, чем сам папа римский, более требователен, чем Кронекер или Брауэр. Однако ничего нельзя поделать с тем, что наше рассуждение о гипотетической последовательности формул, оканчивающейся формулой 0?0, ведётся в гипотетической общности и использует очевидность такого сорта, которую формалист с презрением окрестил бы как приложение принципа полной индукции. Элементарная арифметика может быть основана на таких интуитивных рассуждениях, как это описано самим Гильбертом. Однако для введения бесконечности в полной мере, в которой она встречается в высшей математике, нам требуется формальный аппарат переменных и «кванторов». Тем самым, Гильберт предпочитает провести четкую границу: он становится строгим формалистом в математике и строгим интуиционистом в метаматематике.
По-видимому, стоит кратко объяснить, каким образом формализм Гильберта позволяет восстановить принцип исключенного третьего, служивший главным объектом критики Брауэра. Рассмотрим бесконечную последовательность чисел 0, 1, 2, ... Любое свойство A чисел (например, «быть простым») может быть представлено пропозициональной функцией A(x) («x простое»), из которой подстановкой конкретного числа b вместо переменной x можно получить конкретное утверждение A(b) («b простое»). Согласно принципу, отрицаемому Брауэром и которого хочет придерживаться Гильберт, имеем либо
* существует число x, для которого справедливо утверждение A(x),
либо
* A(x) не справедливо ни для какого x.
Принимая его, мы сможем найти некоторого «представителя» r для свойства A, т.е. такое число, что для любого числа b A(b) влечет A(r), A(b) A(r). Действительно, в случае (a) мы возьмем за r одно из чисел x, для которых справедливо A(x), а в случае (b) берем любое r. Так, Аристид является представителем честности, ибо, как говорили афиняне, если есть честный человек, то это — Аристид. Предполагая, что нам известен представитель, мы сможем решить вопрос, существует ли честный человек или все — нечестные; для этого нам всего лишь надо посмотреть на него: если он нечестен, то и все нечестны. В случае чисел мы даже можем сделать выбор представителя однозначным — в случае (a) мы берем за r наименьшее число, для которого справедливо A(x), а в противоположном случае (b) берем r=0. Таким образом, r получается из A с помощью некоторого оператора ?x, r = ?x A(x), который можно применить к любому мыслимому свойству A. Пропозициональная функция может содержать, кроме x, другие переменные y, z, ... Тем самым, к оператору ? необходимо приписывать индекс x, точно так же как при интегрировании надо указывать, по какой переменной оно производится. Оператор ?x исключает переменную x; например, ?x A(x, y) есть пропозициональная функция от одного y. Оператор такого рода называется квантором. Итак, мы записываем нашу аксиому в виде