A(b1) A(r), ..., A(bh) A(r).
(11)
Теперь мы видим, как нужно выбирать r: если мы последовательно просматриваем конечные формулы A(b1), ..., A(bh) и обнаруживаем, что одна из них, скажем A(b3), истинна, то мы принимаем b3. Если же все они ложны, то мы берём r наугад. Таким образом, все приведённые формулы (11) «истинны» и наше предположение о том, что дедукция ведет к ложной формуле 0?0, приводит к противоречию. Основным здесь является то, что в конкретной дедукции встречается только конечное число явно указанных составляющих b1, ..., bh. Если мы ошибочно выберем, например, Алкивиада вместо Аристида как представителя неподкупности, то наша ошибка не будет иметь последствий, если только те немногие из людей (из бесконечной толпы афинян), с которыми мы имеем дело, все являются подкупными.
Немного более сложным, будет случай, когда мы разрешим, чтобы формулы b1, ..., bh содержали ?x , считая, однако, что за ним всегда следует одна и та же формула A. В этом случае мы сначала сделаем пробную редукцию, заменив ?xA, скажем, числом&nsbp;0. После этого формулы b1, ..., bh заменятся редуцированными конечными формулами b10, ..., bh0, а формулы (10) — формулами
A(b10) A(0), ..., A(bh0) A(0).
Такая редукция вполне пригодна, если только A(0) не будет ложна и в то же время одна из формул A(b10), ..., A(bh0), скажем A(b30), истинна. Но тогда мы сможем взять b30 как вполне законного представителя формулы A, и со второй редукцией, заменяющей ?xA на b30, снова всё будет в порядке.
Однако это только самые первые трудности, которые нас ожидают. Кванторы ?x , ?y , ... с различными переменными, применённые к различным формулам, встанут перед нами, нагромождаясь друг на друга. Мы сделаем пробную редукцию, которая в некоторых местах может и не пройти; эта неудача научит нас, как её исправить. Однако исправленная редукция может не пройти в других местах. Создается впечатление, что мы находимся в замкнутом круге, и возникает вопрос, каким образом надо делать последовательные редукции, чтобы быть уверенным, что окончательная редукция будет хорошей во всех местах нашей последовательности формул. Ничто так не способствовало прояснению замкнутого характера обычных трансфинитных рассуждений в математике, как эти попытки убедиться в непротиворечивости, несмотря на все порочные круги.
Символизм для формализации математики, а также общий подход и первые попытки доказательства непротиворечивости принадлежат Гильберту. Своей дальнейшей разработкой эта программа обязана его молодым сотрудникам П. Бернайсу, В. Аккерману и Дж. фон Нейману. Последние два доказали непротиворечивость «арифметики», вернее, той её части, которая ещё обходится без опасной аксиомы о превращении предикатов в множества. Одно время казалось, что этот пробел незначителен, и уже разрабатывались подробные планы для проникновения в анализ. Затем произошла катастрофа: допуская, что непротиворечивость уже установлена, К. Гёдель указал способ построения арифметических утверждений, истинность которых очевидна, но которые тем не менее не выводятся в рамках формализма. Его метод применим как к гильбертову, так и к любому другому, не слишком ограничительному формализму. Из двух совокупностей, первая из которых состоит из всех формул, получаемых в формализме Гильберта, а вторая — из всех реальных утверждений, истинность которых очевидна, ни одна не содержит другую (при условии, что непротиворечивость формализма может быть установлена). Очевидно, что вопрос о полноте формализма в том абсолютном смысле, в котором его видел Гильберт, был тем самым снят. Когда позже Г. Генцен восполнил пробел в доказательстве непротиворечивости арифметики, существенность которого была обнаружена открытием Гёделя, ему пришлось это сделать с помощью значительного снижения требований Гильберта к очевидности 26. Границы того, что заслуживало доверия с интуитивной точки зрения, вновь стали неопределенными. Так как защита отчизны–арифметики поглотила все силы, наступление на анализ так и не началось, не говоря уже об общей теории множеств.
В таком положении эта проблема находится в настоящее время; никакого окончательного решения не видно. Но независимо от того, что принесет будущее, нет никакого сомнения в том, что Брауэр и Гильберт подняли проблему оснований математики на новый уровень. О возвращении на позиции Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда не может быть и речи.