Гильберт — поборник аксиоматического метода. Он.считал, что этот метод имеет универсальное значение не только в математике, но и во всех науках. Его исследования в области физики пронизаны аксиоматическим духом. В своих лекциях он любил иллюстрировать этот метод примерами из биологии, экономики и т.д.
Современная эпистемологическая интерпретация науки испытала большое влияние его идей. Временами, когда он восхвалял аксиоматический метод, казалось, будто он хочет сказать, что этот метод полностью вытеснит конструктивный или генетический метод. Я уверен, что, по крайней мере в поздние его годы, это не было его настоящим мнением. Хотя исходные математические объекты он вводит с помощью аксиом своей символической системы, формулы строятся им в самом явном и конечном виде. В последнее время аксиоматический метод распространился на все ветви математического дерева. Одна из них, алгебра, насквозь пронизана аксиоматическим духом. Аксиомы играют здесь, можно сказать, служебную роль, являясь средством для определения области изменения переменных, участвующих в явных конструкциях. Однако нетрудно представлять себе картину и по-другому, что именно они являются основными действующими лицами. Нейтральная точка зрения отдает должное как той, так и другой стороне; немалая доля привлекательности современных математических исследований обязана счастливому сочетанию аксиоматического и генетического методов.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Между двумя периодами, в течение которых усилия Гильберта были направлены на основания, сперва геометрии, а затем всей математики в целом, лежат двадцать долгих лет, посвящённых анализу и физике.
Зимой 1900–1901 года шведский математик Э. Хольмгрен докладывал на семинаре Гильберта о первых работах Фредгольма по интегральным уравнениям, и, по-видимому, Гильберт зажёгся ими сразу же. Этот предмет имеет долгую и извилистую историю и своим возникновением он обязан Даниилу Бернулли. В течение двух столетий усилия математиков были направлены к решению (механической, акустической, оптической, электромагнитной) проблемы колебаний среды и связанной с ней краевой задачи теории потенциала. Работа Фурье Theorie analylique de la chaleur (1822) стала вехой на этом пути. Г. А. Шварц с помощью построения основной частоты мембраны впервые доказал (1885) существование собственных колебаний для двумерного случая и более высоких размерностей. Последнее десятилетие XIX века пришлось на создание Пуанкаре его мощных теоретико-функциональных методов; вместе с К. Нейманом они вступили в схватку с гармонической краевой задачей; Вольтерра изучал тот тип уравнений, который теперь носит его имя, а Хельге фон Кох изобрёл бесконечные определители для линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных. Большинство научных открытий делается «в своё время»; иногда, но реже какой-нибудь гений приоткрывает завесу над будущим на десятки лет раньше, чем этого можно было ожидать. Открытие же Фредгольма, как мне всегда казалось, пришло с некоторым опозданием для того времени. Что может быть естественнее идеи превращения системы линейных уравнений, описывающей дискретную систему масс, в интегральные уравнения при переходе к предельному случаю сплошной среды? Однако тот факт, что в более простых ситуациях в непрерывном предельном случае возникают дифференциальные, а не интегральные уравнения, на целых два столетия приковал внимание математиков к дифференциальным уравнениям!
Тем не менее надо отметить, что простота результатов Фредгольма обязана специальному виду его уравнения, на который трудно было бы напасть, если бы он не руководствовался проблемами математической физики, к которым он его применил:
|
1 |
||
|
x(s) – |
? |
K(s, t) x(t) dt = f (s) (0 ? s ? 1). |
|
0 |
|
Здесь линейный оператор, стоящий в левой части, действует на неизвестную функцию x и принимает данное значение f , (E – K) x = f . Он состоит из двух частей: тождественного оператора E и линейного оператора K, который в некотором смысле слабее E. Фредгольм доказал, что для таких интегральных уравнений справедливы следующие два основных факта, известных для систем из n линейных уравнений от того же числа неизвестных: 1) |