Однородное уравнение [ f (s) = 0] имеет конечное число линейно независимых решений x(s) = ?1(s), ..., ?h(s), а однородное уравнение с сопряжённым ядром K'(s, t) = K(t, s) имеет такое же число линейно независимых решений ?1(s), ..., ?h(s).
2)
Неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда заданная функция f удовлетворяет h линейным уравнениям
|
1 |
|
|
? |
f (s) ?i(s) ds = 0 (i = 1, ..., h). |
|
0 |
Используя один искусственный приём Пуанкаре, Фредгольм вводит параметр ?, заменяя K на ?K, и получает решение в знакомом из линейной алгебры виде, т.е. как отношение двух определителей типа X. фон Коха, каждый из которых является целой функцией ?.
|
Гильберт увидел две вещи: 1) |
построив функцию Грина K для заданной области G и уравнения потенциала ?u = 0 с помощью уравнения Фредгольма на границе области, мы преобразуем дифференциальное уравнение колебания мембраны ?? + ?? = 0 в однородное интегральное уравнение
с симметрическим ядром K, K(t, s) = K(s, t) (при этом параметр ? перестаёт быть искусственным, а отвечает существу дела); |
|||||||||||
|
2) |
проблема нахождения «собственных значений» ? и «собственных функций» ?(s) этого интегрального уравнения представляет собой интегральный аналог задачи приведения квадратичной формы от n переменных к главным осям. Тем самым, соответствующая теорема для интегральной квадратичной формы
с произвольным симметричным ядром K должна лечь в основу общей теории колебаний непрерывной среды. |
Если другие и понимали это, то Гильберт, по крайней мере, осознал это настолько чётко, что направил всю свою энергию на доказательство этого предложения. И это ему удалось сделать с помощью такого же прямого метода, который около 1730 года применил Бернулли к задаче о колебании струны: переход к пределу, исходя из алгебраической задачи. При этом ему пришлось использовать определитель Коха—Фредгольма. Он находит последовательность собственных значений ?1, ?2, ..., стремящихся к бесконечности, ?n ? при n ?, и ортонормированное множество соответствующих собственных функций ?n(s),
|
1 |
1 |
|||
|
?n(s) – ?n |
? |
K(s, t) ?n(t) dt = 0, |
? |
?m(s) ?n(s) ds = ?mn, |
|
0 |
0 |
|
таких, что 1 |
1 |
||||
|
? |
? |
K(s, t) x(s) x(t) ds dt = |
? |
?n2 ?n |
, |
|
0 |
0 |
||||
|
где |
1 |
|
|
?n = |
? |
x(s) ?n(s) ds — коэффициент Фурье. |
|
0 |
Из этой теории следует, что каждая функция вида