1
y(s) =
?
K(s, t) x(t) dt
0
может быть разложена в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ?n:
|
1 |
||||
|
y(s) = |
? |
? n?n(s), ? n = |
? |
y(s) ?n(s) ds. |
|
n |
0 |
|||
Предельный переход, который применил Гильберт, довольно сложный. Вскоре после этого Э. Шмидт в своей гёттингенской диссертации нашёл более простое и конструктивное доказательство этих результатов. При этом он применил один метод Г. А. Шварца, изобретённый тем двадцать лет назад для нужд интегральных уравнений.
От конечных форм дорога ведёт либо к интегралам, либо к бесконечным рядам. Поэтому Гильберт рассмотрел аналогичную проблему ортогональных преобразований заданной квадратичной формы
|
(13) |
в форму специального вида
|
c1?12 + c2?22 + ... (cn = 1/?n 0) |
(14) |
от бесконечного числа (действительных) переменных (x1, x2, ...) или векторов x счётномерного пространства. При этом рассматриваются только векторы с конечной длиной |x|,
|x|2 = x12 + x22 + ...;
они образуют то, что мы сейчас называем гильбертовым пространством. Преимущество этого гильбертова пространства перед «пространством» всех непрерывных функций x(s) основано на некотором свойстве полноты. Благодаря этому свойству можно сформулировать необходимое и достаточное условие для приведения формы (13) к виду (14) в терминах некоторой «вполне непрерывности», позволяющей провести хорошо известное в алгебраическом случае рассуждение: числа c1, c2, ... определяются как последовательные максимумы функции K на «сфере» |x|2 = 1.
Как подсказывает теорема об интегральной квадратичной форме, связь между пространством функций x(s) и гильбертовым пространством векторов (x1, x2, ...) осуществляется произвольной полной ортонормированной системой u1(s), u2(s), ... и выражается уравнением
|
1 |
||
|
xn = |
? |
x(s) un(s) ds. |
|
0 |
Неравенство Бесселя утверждает, что сумма квадратов коэффициентов Фурье xn не превосходит интеграла от квадрата функции x(s). Полнота, впервые введённая А. Гурвицем и подробно исследованная В. Стекловым, требует, чтобы в этом неравенстве было на самом деле равенство. Таким образом, теорема о квадратичных формах от бесконечного числа переменных даёт одновременно результат как о собственных значениях, так и о собственных функциях для симметрических ядер K(s, t) — точнее, давала бы, если бы мы могли рассчитывать на равномерную сходимость ряда ? xnun(s) для любого заданного вектора (x1, x2, ...) из гильбертова пространства. В специальном случае собственных векторов квадратичной формы (13), соответствующей интегральной форме (12),
|
xn = ? |
? |
Kmn xm, |
|
m |
Гильберт решает этот вопрос, составляя равномерно сходящийся ряд
|
1 |
||||
|
? |
? |
xm |
? |
K(s, t) um(t) dt, |
|
m |
0 |
|||
который представляет на самом деле непрерывную функцию ?(s) с n-м коэффициентом Фурье