Замечательны приложения интегральных уравнений вне тех областей, для которых они были изобретены. Среди них я упомяну следующие три: (1)
Проблема Римана определения n аналитических функций f 1(z), ..., f n(z), регулярных всюду, за исключением некоторого конечного множества точек, и изменяющихся при аналитическом продолжении вокруг этих точек согласно заданным линейным преобразованиям. Эта проблема была решена самим Гильбертом, а затем более простое и полное решение было дано Племелем. (Очень специальный случай этой проблемы даёт существование алгебраических функций на римановой поверхности, заданной в виде накрытия комплексной z-плоскости.) В этом же направлении лежали и исследования Дж. Д. Биркгофа о матрицах из аналитических функций.
(2)
Доказательство полноты неприводимых представлений компактной непрерывной группы. Оно является необходимым средством для подхода к общей теории инвариантов на основе метода усреднения Гурвица, а уточнение и обобщение этого метода играет важную роль в современных теоретико-групповых исследованиях, включая разработанную Г. Бором теорию почти периодических функций 29. Таким образом, здесь мы снова встречаемся со старым другом Гильберта — теорией инвариантов.
(3)
Совсем недавно гильбертов метод параметрикса помог установить центральную теорему существования в разработанной У. В. Д. Ходжем теории гармонических интегралов на компактных римановых пространствах 30.
Рассказ получился бы достаточно драматичным, даже если бы мы остановились на этом месте. Однако спустя некоторое время произошло удивительное событие: спектральная теория в гильбертовом пространстве оказалась подходящим математическим аппаратом для новой квантовой физики, начало которой было положено Гейзенбергом и Шрёдингером в 1925 году. Это последнее развитие привело к пересмотру всего предмета в целом при помощи более тонких средств (Дж. фон Нейман, А. Винтнер, М. Г. Стоун, К. Фридрихс). Так как Дж. фон Нейман был сотрудником Гильберта в период окончания той эпохи, когда его интересы делились между квантовой физикой и основаниями, историческая связь с собственными достижениями Гильберта не прекращается даже в этой последней фазе развития. Обзор того, что стало с теорией абстрактных пространств и линейных операторов в наше время, лежит вне рамок настоящей статьи.
Картина «аналитического периода» Гильберта будет неполной, если мы не упомянем второй мотив, вариационное исчисление, который пересёкся с его доминирующим интересом — интегральными уравнениями. «Теорема о независимости», которой он окончил свой парижский обзор математических проблем (1900), внесла важный вклад в формальный аппарат этого исчисления. Но гораздо более важную роль сыграл его смелый и решительный подход к проблемам функциональных максимумов и минимумов. Весь хорошо отработанный аппарат вариационного исчисления здесь был сознательно отброшен в сторону. Вместо него он предложил строить минимизирующую функцию как предел последовательности функций, для которых значение рассматриваемого интеграла стремится к своему минимуму. Классический пример даёт интеграл Дирихле в двумерной области
|
D [u] = |
? ? |
{( |
?u?x |
) |
2 |
+ |
( |
?u?y |
) |
2 |
} |
dx dy. |
|
G |
||||||||||||
Допустимыми здесь являются все функции u с непрерывными производными, удовлетворяющие заданным граничным условиям. Пусть d — нижняя грань значений D[u] для допустимых u; тогда можно найти последовательность допустимых функций un такую, что D[un] d при n ?. Нельзя ожидать, что сама последовательность un будет сходиться, однако можно попытаться её изменить с помощью подходящего процесса интегрального сглаживания, чтобы она начала сходиться. Так как предельная функция должна быть гармонической, а значение таких функций для любой точки P совпадает со средним значением её на любой окружности K с центром в P, то естественнее всего заменить un(P) на её среднее значение в K. При этом мы надеемся, что это среднее значение будет стремиться к числу u(P), которое не зависит от выбранной окружности, а его зависимость от точки P даст решение проблемы минимума. Кроме интегрирования Гильберт использует до перехода к пределу некоторый процесс выделения подходящей подпоследовательности из un. Благодаря простому неравенству