v
D [um – un]
?
v
D [um] – d
+
v
D [un] – d
,
открытому С. Зарембой, последнего можно и не делать. Метод Гильберта ещё лучше приспособлен для задач, в которых граница области не имеет столь большого значения, как в краевой задаче. После небольшого видоизменения его можно применять к случаю точечных особенностей, и таким образом Гильберт решает фундаментальную проблему для потоков на римановых поверхностях. Это позволяет получить необходимую основу для подхода самого Римана к теории абелевых интегралов, а также показывает, что таким же образом можно получить фундаментальные теоремы Пуанкаре и Кёбе об униформизации. Насколько бы далеко мы продвинулись в теории чисел, если бы располагали столь же мощными методами для конструкции абелевых и произвольных расширений Галуа полей алгебраических чисел, какими оказались трансцендентные методы Римана—Гильберта в применении к аналогичным проблемам в полях алгебраических функций! Широкие их приложения к теории конформных отображений и минимальных поверхностей были открыты работами Рихарда Куранта — человека, много лет являвшегося главным сотрудником Гильберта во всех математических делах в Гёттингене 31. Также значительным, но не таким непосредственным является влияние идей Гильберта на целое направление в современном развитии вариационного исчисления; в Европе среди многих других можно упомянуть имена Каратеодори, Лебега, Тонелли, в Америке цепочка тянется от О. Больца до совсем недавней работы М. Морса.
ФИЗИКА
Ещё до смерти Минковского, в 1909 году, Гильберт начал систематическое изучение теоретической физики в тесном сотрудничестве со своим старым другом, который всегда находился в курсе достижений соседней науки. Работа Минковского по теории относительности стала первым плодом этих совместных занятий. Гильберт продолжал их в течение многих лет и в период между 1910 и 1930 годами часто читал лекции и вёл семинары на физические темы. Он с большой радостью расширял свой кругозор и свой контакт с физиками, с которыми он мог встречаться на их собственной территории. Тем не менее урожай, собранный им на этой почве, вряд ли может сравниться с его достижениями в чистой математике. Многообразие экспериментальных фактов, которые приходится принимать во внимание физику, является огромным, их увеличение происходит слишком быстро, а их значение и относительный вес слишком изменчивы, чтобы аксиоматический метод смог найти здесь себе достаточно твёрдую опору, разве что это возможно в каких-нибудь прочно установившихся областях нашей физической науки. Люди, подобные Эйнштейну или Нильсу Бору, в темноте прокладывают свой путь к своим концепциям об общей теории относительности или структуре атома, руководствуясь опытом и воображением, отличными от тех, которыми пользуются математики, хотя, без сомнения, и для них математика играет важную роль. В результате, обширным планам Гильберта в области физики так и не суждено было свершиться.
Однако применение им интегральных уравнений к кинетической теории газов и элементарной теории излучения представляет собой значительное достижение. В частности, его асимптотическое решение фундаментального уравнения Максвелла—Больцмана в кинетической теории газов, интегрального уравнения второго порядка, чётко разделило два слоя экспериментальных физических законов, к которым приводит эта теория. Более подробно это решение было рассмотрено физиками, которые применили его к ряду конкретных проблем. В своих исследованиях по общей теории относительности Гильберт соединил теорию гравитации Эйнштейна с программой единой теории поля Г. Ми. Более трезвый подход Эйнштейна, не связанный с весьма спекулятивной программой Ми, оказался более полезным. Работа Гильберта может рассматриваться как предвестник единой теории гравитации и электромагнетизма. Однако в гамильтониане Гильберта остаётся ещё слишком много произвольности; последующие попытки избавиться от неё (Вейль, Эддингтон, сам Эйнштейн и другие) не достигли окончательной цели.