В этот первый год, когда Гильберт стал доцентом, ему не удалось совершить ни одной из своих поездок, которые он столь оптимистично запланировал в качестве компенсации за своё изолированное положение в Кёнигсберге. Позже он вспоминал свои годы «под защитой» своего родного города как время «медленного созревания». В следующем семестре он читал лекции об определителях и гидродинамике, которые вначале он надеялся прочитать в первом семестре. Он начал также готовить лекции по сферическим гармоникам и численным уравнениям. Несмотря на разнообразие его лекций, его собственные работы продолжали относиться исключительно к теории алгебраических инвариантов, хотя он и интересовался вопросами из других областей.
Наконец, в начале 1888 года он почувствовал, что готов предпринять давно обещанное себе путешествие. Составив маршрут, рассчитанный на посещение 21 видного математика, в марте он отправился в путь. В своих письмах к Минковскому он шутя называл себя «специалистом по теории инвариантов». Поэтому он первым делом поехал в Эрланген, где держал свой двор «король инвариантов».
Пауль Гордан ярко выделялся своей личностью среди математиков того времени. Будучи на двадцать пять лет старше Гильберта, он довольно поздно занялся наукой. Его отец, бывший торговцем, открыв необычайные способности сына к вычислениям, долгое время отказывался их признавать. Односторонний и вспыльчивый Гордан оставил несколько отрицательный след в истории математики. Однако это был человек острого ума, обладавший глубокой тягой к дружбе и близости с молодежью. Прогулки были необходимостью для него. В это время, бормоча вслух, он проделывал в голове сложные вычисления. В компании он говорил без умолку. Он часто любил «вмешиваться». Сидя в каком-нибудь кафе в окружении молодежи, с кружкой пенящегося знаменитого эрлагенского пива и с непременной сигарой в руке, он громко разглагольствовал, отчаянно жестикулируя и полностью забывая о своём окружении. Почти всё время он говорил о теории алгебраических инвариантов.
Большой удачей для Гордана было то, что время его первых занятий этой теорией совпало с началом нового этапа в ней. Первые годы её развития были посвящены исследованию общих законов, которым подчиняются инварианты; на следующем этапе началось методическое построение и классификация инвариантов, что и послужило пищей для Гордана. В некоторых его работах на протяжении 20 страниц не было ничего, кроме формул. «Они служили основой для его мыслей, заключений и способа выражения», — писал о нём позже один из его друзей. Однако усилия Гордана в изобретении и разработке формальных алгебраических операций были значительными. В начале своей карьеры он сделал первый прорыв в знаменитой проблеме инвариантов. За это ему и присвоили титул короля инвариантов. Общая проблема, всё ещё не решённая и ставшая самой знаменитой проблемой в этой теории, была названа в его честь «проблемой Гордана». Именно её обсуждал Эрмит с Гильбертом и Штуди в Париже.
«Проблема Гордана» была совсем не похожа на задачи типа «найти x», с которых начиналась алгебра много веков назад. Это была абстрактная, чисто математическая проблема, вызванная не окружающим нас физическим миром, а развитием самой математики. К этому времени стала известна внутренняя структура всех инвариантных форм. Существовал метод, который позволял, по крайней мере в принципе, выписать все различные инвариантные формы заданной степени от данного числа переменных. Новая проблема имела совершенно другой характер, так как относилась к множеству всех инвариантов. Существует ли базис, т.е. конечная система инвариантов, через которые рационально или полиномиально выражается любой другой из бесконечного числа инвариантов?
Выдающимся достижением Гордана явилось его доказательство, ровно за 20 лет до его встречи с Гильбертом, существования конечного базиса для бинарных форм, простейших из всех алгебраических форм. Характерно, что оно было основано на вычислениях и использовало структуру некоторых элементарных операций, с помощью которых получались инварианты. В настоящее время, будучи «голым вычислением», оно имеет только историческую ценность. Однако в те дни оно явилось высшим достижением в теории инвариантов, о чем свидетельствует тот факт, что, несмотря на двадцатилетние усилия английских, немецких, французских и итальянских математиков, кроме некоторых специальных случаев, теорема Гордана не была обобщена на случай небинарных форм. Король, взошедший на престол в 1868 году, оставался несвергнутым. Незадолго перед приездом Гильберта в Эрланген Гордан опубликовал вторую часть своих «Лекций о теории инвариантов». Согласно рецензии того времени, в план этой работы прежде всего входило «разъяснить и подробно проиллюстрировать примерами» доказанную им ранее теорему. Гильберт был уже некоторое время знаком с проблемой Гордана; однако теперь, слушая самого Гордана, ему казалось, что он прочувствовал её гораздо глубже, чем раньше. Проблема заняла его воображение с почти сверхъестественной силой.