Здесь налицо была проблема, обладающая всеми чертами великой глубокой математической проблемы, к которым Гильберт позже причислял следующие:
Ясная и легко понимаемая («так как, в то время как ясное и простое привлекает, сложное отталкивает»).
Трудная (чтобы нас привлекать») и в то же время не полностью недоступная («чтобы не сделать безнадёжными наши усилия»).
Важная («путеводная звезда на извилистых тропах к сокрытым истинам»).
Мысли об этой проблеме его не оставляли. Покидая Гордана, он увёз его проблему в Гёттинген, где он собирался посетить Клейна и Г. А. Шварца. Перед отъездом из Гёттингена ему удалось дать более короткое и простое непосредственное доказательство знаменитой теоремы Гордана для бинарных форм. По словам одного американского математика того времени, «приятным сюрпризом было узнать, что первоначальное сложное доказательство теоремы Гордана можно было переделать так, чтобы оно занимало не более четырёх страниц в четверть листа каждая».
Из Гёттингена Гильберт направился в Берлин, где посетил Лазаруса Фукса, который был теперь там профессором университета. Кроме того, он посетил Гельмгольца, а также Вейерштрасса, который недавно вышел в отставку. Затем он снова нанёс визит Кронекеру. Будучи большим поклонником математических работ Кронекера, он тем не менее находил чрезвычайно отталкивающим не терпящее возражений отношение старика к вопросу существования в математике. На этот раз он обсуждал с Кронекером некоторые свои планы дальнейших исследований в теории инвариантов. По-видимому, они не произвели большого впечатления на Кронекера. Он сослался на свою собственную работу, сказав, как заметил себе Гильберт, «что мои исследования по этому вопросу содержатся там». С другой стороны, они имели пространную беседу об идеях Кронекера относительно природы существования в математике и о его возражениях против использования Вейерштрассом иррациональных чисел. «Единственное равенство есть 2 = 2... Только дискретное или особое имеет смысл», — записал Гильберт в маленькую записную книжку, куда он заносил свои замечания о беседах с посещаемыми им математиками. На важность этой беседы для развития Гильберта в то время указывает тот факт, что в этой книжице ей было посвящено четыре страницы, в то время как на других математиков, в том числе Гордана, никогда не затрачивалось больше страницы.
От Кронекера он уехал, продолжая думать о проблеме Гордана.
Дома, в Кёнигсберге, эти мысли не покидали его ни во время работы, ни на отдыхе, ни даже на танцах, которые он так любил посещать. В августе, как обычно, он поехал в Раушен; оттуда 6 сентября 1888 года он послал короткую заметку в Nachrichten 14 Гёттингенского научного общества. В этой заметке он дал набросок совершенно неожиданного и оригинального способа доказательства теоремы Гордана, годного одновременно для форм от любого числа переменных.
Известие о решении знаменитой старой проблемы застало всех врасплох, и первой реакцией было полное недоверие.
После простейшего случая, доказанного самим Горданом, поиски решения в общем случае велись, по существу, в том же направлении, т.е. при помощи сложного алгоритмического аппарата, аналогичного тому, который с таким успехом использовал Гордан. В случае многих переменных и сложной группы преобразований этот подход становился фантастически трудным. Стало обычным делом видеть в Annalen 15 формулы, занимающие более одной страницы. Как жаловался позже один математик, они были «сравнимы разве что с формулами, описывающими движение Луны».
В этой атмосфере сплошного формализма Гильберт пришёл к мысли, что единственный способ добиться желаемого доказательства должен лежать на совершенно другом пути от того формалистического подхода, через который не могли пробиться все современные ему исследователи. Отбросив весь этот сложный аппарат, он свёл проблему, по существу, к следующему вопросу:
«Пусть задана бесконечная система форм от конечного числа переменных. При каких условиях существует конечная система форм, через которую все другие выражаются в виде линейных комбинаций, коэффициенты которых суть целые рациональные функции от тех же переменных?».