Несмотря на философские разногласия, Гильберт находился в то время под сильным влиянием математических идей Кронекера.
На самом деле, как стало ясно позднее, главное значение его работы по инвариантам заключалось в применении арифметических методов к алгебраическим проблемам. Экземпляр каждой своей работы он посылал Кронекеру. Тем не менее Кронекер как-то заметил с обидой Минковскому, что он прекратит посылать свои работы Гильберту, если тот не будет посылать ему своих. После этого Гильберт сразу же написал формальное, вежливое, но решительное письмо:
«Я точно помню, и это же ясно показывает мой список посылаемых работ, что я позволил себе смелость отправлять Вам копию каждой работы, без исключения, сразу же после её выхода из печати; кроме того, Вы были так добры, что на некоторые последние отправления прислали мне открытки с благодарностью. С другой стороны, высокочтимый профессор, ещё не было случая, чтобы я получил в качестве подарка хотя бы один оттиск Ваших работ. Однако в прошлом году, когда я имел честь посетить Вас, Вы упомянули, что пошлёте мне что-нибудь по своему выбору. Мне кажется, что это указывает на какие-то недоразумения между нами, и я пишу эти строки, чтобы поскорее, насколько это возможно, рассеять их».
Затем после многих исправлений он попытался выразить мысль, что во всём им написанном надо видеть только один смысл: не упрёки, а только объяснения. Отчаявшись, наконец, он просто подписался: «С глубочайшим уважением, Давид Гильберт».
В следующие два года, будучи ещё доцентом, Гильберт послал две заметки в Nachrichten, а затем в 1890 году на основе всех своих работ по алгебраическим формам он написал подробную статью для Annalen. К этому времени революционное воздействие его работ стало повсеместно признаваться и приниматься. Переменил своё отношение к молодому человеку и Гордан. Предлагая другое доказательство одной из теорем Гильберта, он писал, что доказательство господина Гильберта было «абсолютно верным», а его собственное доказательство было бы даже невозможно, «если бы господин Гильберт не применил в теории инвариантов понятий, развитых Дедекиндом, Кронекером и Вебером в другой части математики».
В то время как Гильберт был вовлечён в чистейшую часть чистой математики, Минковский всё больше от неё отдалялся. 31-летний Генрих Герц, спустя два года после своего открытия электромагнитных волн, предсказанных Максвеллом, стал недавно профессором физики в Бонне. Минковский, жалуясь на «полное отсутствие хотя бы наполовину нормальных математиков» среди своих коллег, стал всё больше склоняться к Герцу и физике. Перед рождеством он писал, что, вопреки обычаю, он не будет проводить каникулы в Кёнигсберге: «Хотя я и не знаю, надо ли тебя утешать, так как сейчас ты нашёл бы меня полностью заражённым физикой. Наверное, мне пришлось бы даже пройти 10-дневный карантин, прежде чем вы с Гурвицем допустили бы меня, как математика чистого и неприкладного, к своим совместным прогулкам».
В другой раз он писал: «Причиной, по которой я теперь почти полностью плаваю в физических водах, является то, что в настоящий момент, как чистый математик, я здесь единственный среди призраков, кто имеет чувствительное сердце. Поэтому, — объяснял он, — для того чтобы контактировать с другими смертными, мне пришлось окружить себя магией, или, другими словами, физикой. Свои лабораторные дни я провожу в Институте физики, дома я изучаю Томсона, Гельмгольца и их компанию. С конца следующей недели мне даже придётся несколько дней в неделю работать в голубом дыму одного института, где в качестве техника мне придётся изготовлять физические приборы, т.е., как ты можешь себе представить, заниматься сугубо практической работой».
Однако расхождение в научных интересах не повлияло на дружбу; на самом деле именно в это время молодые люди в своей переписке сделали знаменательный переход с формального «Sie» 17 на дружеское «du» 18.
Годам приват-доцентства, казалось, не будет конца. Бoльшая часть писем посвящалась обсуждению возможности повышения. В 1891 году Минковский писал, что, по слухам, ему могут предложить место в Дармштадте. «Однако этот луч надежды может светить до тех пор, пока не станет освещать уже почти совсем седые волосы». В этом же году, по-видимому по особому разрешению университета, лекции Гильберта по аналитическим функциям слушал только один студент — американец из Балтимора, несколько старше, чем молодой лектор, однако, по словам последнего, «очень сообразительный и чрезвычайно заинтересованный». Это был Фабиан Франклин, важный человек в теории инвариантов и преемник Сильвестра в университете Джонса Гопкинса.