Так как в Кёнигсберге было мало студентов-математиков, Гильберт, кроме математических собраний, посещал также и собрания естествоиспытателей. Кёнигсберг был удивительно богат близкими ему по духу молодыми людьми. Среди них был Вихерт, в это время тоже доцент, а также недавно присоединившийся к нему студент Арнольд Зоммерфельд, вместе с которым они изобретали гармонический анализатор. Оба они со временем стали выдающимися специалистами в электродинамике. Однако, когда «маленький Зоммерфельд» услышал лекцию Гильберта по теории идеалов, он сразу же решил, что его интересует только самая чистая и абстрактная математика. Позже он заметил, что «уже было ясно, что дух особой силы принялся за работу».
Светская жизнь здесь была довольно бурной. Гильберт был весёлым молодым человеком с репутацией «энергичного танцора» и «обворожителя», как выражался один из его родственников. Он неутомимо флиртовал со многими девушками. Однако его любимым партнёром во всякого рода развлечениях была Кёте Ерош, дочь кёнигсбергского торговца, откровенная, молодая девушка, независимость мышления которой была почти сравнима с его собственной.
Даже после работы 1890 года проблема Гордана не оставляла Гильберта. Как и большинство математиков, он предпочитал явное построение доказательству существования. Как сказал один математик, «имеется большая разница между доказательством существования объекта определённого типа при помощи построения осязаемого примера такого объекта или при помощи рассуждений, показывающих, что его отсутствие приводит к противоречию. В первом случае имеется осязаемый объект, а во втором — лишь противоречие». Ему очень хотелось получить для старого Кронекера, Гордана и других конструктивное доказательство конечности базиса системы инвариантов. Но в настоящее время он просто не видел никакого подходящего способа. Однако в следующие два года направление его работы стало меняться. Его начинают всё больше привлекать идеи, относящиеся к полям алгебраических чисел. И снова они были связаны с именем Кронекера. Именно здесь Гильберт нашёл наконец-то те мощные методы, которые он так давно искал. В основополагающей работе 1892 года он рассмотрел вопрос о необходимых условиях, позволяющих найти полную систему инвариантов, через которую можно выразить все остальные инварианты. Основываясь на ранее доказанной теореме, ему удалось предложить метод, позволяющий, по существу, за конечное число шагов получить искомую конструкцию.
Хотя Гильберт не был первым, кто использовал косвенные, неконструктивные доказательства, он был первым, кто осознал их глубокое значение и силу, а также смог воспользоваться ими в драматических и чрезвычайно красивых ситуациях. Кронекер недавно умер; однако тем, кто, как и он, заявлял, что утверждение о существовании объекта без его явного построения не имеет смысла, Гильберт мог всегда возразить: «Значение доказательств чистого существования состоит в точности в том, что, избегая конкретного построения, они подчиняют многие различные конструкции одной основной цели, позволяющей выявить в доказательстве самое существенное; краткость и экономия мысли есть raison d'etre 19 таких доказательств. Запретить теоремы существования... равносильно отказу от всей математической науки».
Теперь, используя теорему существования, Гильберту удалось получить построение. Толчок, который дало это достижение для распространения методов существования, вряд ли можно переоценить.
Минковский был в крайнем восхищении: «Уже давно для меня было ясно, что дело только во времени, чтобы тобою был разрешён старый вопрос об инвариантах, — отсутствовали только точки над «i»; но то, что всё обернулось столь удивительно просто, наполнило меня большой радостью, и я тебя поздравляю».
Он был склонен к литературным вдохновениям и был любителем метафор. От первого доказательства существования Гордан почувствовал перед глазами дым, но теперь Гильберт изобрёл бездымный порох. Замок баронов-разбойников — Гордана и остальных — был сровнен с землей, было опасение, что он никогда не возродится. Гильберт смог бы помочь своим коллегам-математикам, если бы снабдил их своими материалами, с помощью которых они смогли бы восстановить замок. Но, вероятно, он не захочет тратить своё время на это. Ещё оставалось так много дел, которые он способен был совершить! Сам Гордан любезно признал: «Я убедился, что у теологии есть своя преимущества».
Когда Клейн отправился в Чикаго на объявленный Международный конгресс математиков в честь основания Чикагского университета, он взял с собой работу Гильберта, в которой этот молодой человек между делом подытожил историю теории инвариантов и свою долю участия в ней: «В истории математической теории легко различаются три фазы развития: наивная, формальная и критическая. Что касается теории алгебраических инвариантов, то её первых основателей Кэли и Сильвестра можно рассматривать как представителей наивного периода: разрабатывая простейшие понятия инвариантности и изящно применяя их к решениям уравнений первой степени, они испытали первые радости открытия. Клебш и Гордан, которые изобрели и привели в совершенство символическое исчисление, были лидерами второго периода. Критический период нашёл своё выражение в теоремах, которые я перечислил выше...»