По мнению Клейна, студенты должны были самостоятельно работать над доказательством. Он давал только его общий план. Из-за этого студентам приходилось затрачивать для усвоения материала четыре часа на каждый час, проведённый на лекции. Сильной стороной Клейна была присущая ему широта охвата материала. «Он обладал способностью видеть основную общую идею, пронизывающую отдельные проблемы, и владел искусством представлять её слушателям без лишних необходимых подробностей», — говорил один из его студентов. В отборе материала для лекций Клейн следовал характерному для него величественному плану: «в течение курса дать полное представление о всей обширной территории современной математики».
В противоположность этому, согласно Блюменталю, Гильберт читал свои лекции медленно, «без ненужных украшений» и с частыми повторениями, «чтобы быть уверенным, что все его поняли». Как правило, он повторял материал прошлой лекции, что было привычкой преподавателей гимназии, которой пренебрегали другие профессора. И всё же скоро его лекции, столь непохожие на лекции Клейна, стали производить на многих студентов большее впечатление, так как были полны «красивейшими проникновениями».
В хорошо приготовленной лекции Гильберта одно предложение следовало за другим «просто, естественно и логично». Однако обычно он готовил лекцию только в общих чертах и часто спотыкался в деталях. Случалось, что, не отмечая этого специально, он мог внезапно начать развивать свои собственные идеи. Тогда его лекции ещё разительней отличались от совершенных лекций Клейна и демонстрировали недоработки, неправильно начатые доказательства, а иногда и ошибочное направление самого замысла.
За восемь с половиной лет в Кёнигсберге Гильберт не повторил ни одного предмета, «за одним небольшим исключением» — одночасового курса по определителям. Теперь в Гёттингене ему легко было выбрать темы своих лекций, согласованные с пожеланиями Клейна. В первом семестре он читал курсы по теории определителей и эллиптических функций, а также вместе с Клейном каждое утро по средам вел семинар по действительным функциям.
Хотя Гильберт с готовностью принял должность профессора в Гёттингене, его беспокоили две стороны нового положения. Кёте здесь не была счастлива. Общество Гёттингена, хотя для её мужа и более интересное в научном смысле, не выказывало того дружелюбия, к которому она привыкла в Кёнигсберге. Строго соблюдаемая разница в рангах отделяла профессоров от доцентов и студентов старших курсов. Несмотря на свою доброту, Клейн держал Гильберта, как и остальных, на некотором расстоянии. Его жена (дочь философа Гегеля) была очень тихой женщиной, непохожей на тех, кто окружает себя большой компанией. Дом Клейна на улице Вильгельма Вебера, 3 — большой, квадратный, внушительный, с бюстом Юпитера на лестнице, ведущей в кабинет хозяина, — уже тогда походил на здание института, которым он со временем стал. Для Гильберта «товарищество» и человеческая солидарность были необходимы для научного творчества. Так же, как и Кёте, он нашёл атмосферу Гёттингена весьма холодной.
Кроме того, поначалу Гильберта беспокоило, что он может не оправдать надежд, питаемых на его счет Клейном. Он понимал, что причиной его приглашения была вера в него. Перед отъездом из Кёнигсберга он писал Клейну: «Мои положительные достижения — которые мне известны на самом деле лучше, чем кому бы то ни было, — всё ещё очень скромны». В следующем письме он снова вернулся к этому и добавил с надеждой: «Что касается моей научной программы, то я надеюсь в конечном счёте сделать из теории идеалов полезное и общее орудие (применимое также для аналитических функций и дифференциальных уравнений), которое дополнит великое и многообещающее понятие группы». Потом он аккуратно зачеркнул это предложение и написал на полях: Я не писал этого.
Теперь в Гёттингене Гильберт сосредоточил свои усилия на своей части обзора по теории чисел для Германского математического общества, который он рассматривал как необходимую основу для своих надежд на будущее.
В Кёнигсберге Минковский почти сразу же получил назначение на место своего друга. «Всё произошло так быстро, что я ещё полностью не привык к своему поразительному счастью. Во всяком случае, я знаю, что за всё это я должен благодарить только тебя. Увидишь, что я сброшу с себя свой кокон, и тогда никто не сможет попрекнуть тебя за твои хлопоты обо мне». Минковский был счастлив в своём новом положении — профессора теперь старались изо всех сил, чтобы описать достоинства своих дочерей, — однако, писал он, после отъезда Гильберта он «ни разу не прогуливался к яблоне».