Вскоре после конгресса в Страсбурге состоялась свадьба Минковского.
До конца ноября от него не было писем.
«После моего долгого молчания ты мог бы подумать, что моя женитьба полностью меня переменила. Однако для моих друзей и для моей науки я остаюсь всё тем же. Просто на некоторое время был перерыв в моих обычных интересах».
Закончив Zahlbericht, Гильберт занялся давно задуманными собственными исследованиями. Главным его интересом было обобщение закона взаимности на поля алгебраических чисел. В классической теории чисел квадратичный закон взаимности, известный ещё Лежандру, был вновь открыт и впервые строго доказан Гауссом, когда ему было 18 лет. Гаусс всю жизнь считал его «жемчужиной» теории чисел и возвращался к нему несколько раз, дав ему пять различных доказательств. Этот закон описывает замечательные соотношения между парой простых чисел, и остатками от деления квадратов целых чисел на них.
Для того чтобы подойти к закону взаимности с той общностью, которую он имел в виду, Гильберту требовался прочный фундамент, и таковым ему послужил Zahlbericht. Во введении к нему он заметил, что «по моему мнению, самая богатая идеями часть теории чисел есть теория абелевых и относительно абелевых полей, открытая для нас Куммером в работе о высшем законе взаимности и Кронекером в исследованиях о комплексном умножении эллиптических функций. Глубокое проникновение в эту теорию, которое дают работы этих двух математиков, показывает в то же время... что несметные сокровища всё ещё лежат сокрытыми, маня богатым вознаграждением исследователя, знающего им цену и с любовью применяющего своё искусство, чтобы овладеть ими».
Гильберт принялся за розыски этих сокровищ. Работа над Zahlbericht принесла ему знание территории, бывшей одновременно «тесной и обширной». Он двигался осторожно, но уверенно.
«Доставляет огромное удовольствие наблюдать, — писал позже один математик, — как в серии работ шаг за шагом, поднимаясь от частного к общему, развиваются адекватные понятия и методы и начинают проясняться существенные связи».
Изучая классический квадратичный закон взаимности Гаусса, Гильберту удалось переформулировать его в простой и красивой форме, которая имела смысл и для полей алгебраических чисел. Это позволило ему с необычайной ясностью угадать формулировку закона взаимности для степеней, бoльших 2, хотя он и не смог доказать его во всех случаях. Венцом его работы в этой области была статья «О теории относительно абелевых полей», вышедшая спустя год после Zahlbericht. В этой работе, по существу программной по своему характеру, он дал набросок обширной теории, получившей известность как «теория полей классов», и развил методы и понятия, необходимые для дальнейших исследований. Будущим математикам это казалось «божественным откровением» — нигде в других его работах не была так явно продемонстрирована его математическая интуиция. В отличие от работы по теории инвариантов, положившей конец развитию теории, работе по полям алгебраических чисел было суждено стать началом исследований. Но для других математиков.
Сам Гильберт неожиданно перешёл в другую область.
VIII СТОЛЫ, СТУЛЬЯ И ПИВНЫЕ КРУЖКИ
Сообщение о том, что в зимнем семестре 1898–1899 года Гильберт будет читать курс по геометрии, было неожиданным для студентов, за все эти три года в Гёттингене слышавших от него про одни только «числовые поля». Однако новое увлечение Гильберта не было совершенно неожиданным.
Ещё доцентом Гильберт прослушал в Галле лекцию Ганса Винера об основаниях и структуре геометрии. Находясь под влиянием абстрактной точки зрения Винера на геометрические объекты, по дороге в Кёнигсберг на вокзале в Берлине он глубокомысленно заметил своим спутникам: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках». В этом шутливом замечании содержалась суть курса лекций, которые он намеревался прочесть.
Чтобы понять подход Гильберта к геометрии, надо помнить, что на начальном этапе своего развития математика представляла собой, в основном, беспорядочный набор утверждений, которые казались очевидными или логически вытекали из других кажущихся очевидными утверждений. Критерий очевидности применялся в это время без всяких ограничений, для того чтобы овладеть новыми математическими знаниями. Наконец, в III веке до нашей эры некий учитель по имени Евклид собрал часть современных ему знаний в том виде, который стал общепринятым в последующие времена. Вначале он определил используемые им термины — точки, прямые, плоскости и т.д. Затем он свёл большое число очевидных утверждений примерно к десятку утверждений, верность которых не вызывала никаких сомнений и потому принималась без доказательства. Из этих определений и аксиом (как позже были названы эти утверждения) ему удалось вывести почти пятьсот геометрических предложений, или теорем. Во многих случаях последние теоремы были совсем не очевидными, однако их истинность гарантировалась тем фактом, что все они выводились в строгом соответствии с принятыми правилами логики из уже принятых на веру определений и теорем.