Невозможность доказательства постулата о параллельных прямых стала, наконец, «столь же истинной, как и любой другой математический факт». Однако опять всё значение этого открытия было оценено не сразу и не всеми. Хотя большинство математиков и признали, что можно строить различные неевклидовы геометрии путём изменения постулата о параллельных прямых, они так и не могли понять того очевидного факта, что другие аксиомы Евклида также являются произвольными предположениями и, заменяя их другими, можно строить новые неевклидовы геометрии.
Только несколько математиков пытались всё же найти подход к геометрии, учитывающий всё значение открытия неевклидовых геометрий, и в то же время исключить все скрытые предположения, нарушающие логическую красоту труда Евклида. Первым такой подход предпринял Морис Паш, которому удалось полностью исключить все оплошности, основанные на наглядности, и свести геометрию к сплошному упражнению в логическом синтаксисе. Джузеппе Пеано пошёл ещё дальше. По существу, он перевёл работу Паша на изобретённый им язык символической логики. Подход Пеано к геометрии был абсолютно абстрактным — исчисление соотношений между логическими переменными.
Трудно было понять, каким образом Гильберт надеялся продвинуться в этой области математической мысли. В своих лекциях он стремился сократить расстояние между абсолютно абстрактной символизацией геометрии и её естественной геометрической наглядностью. Он снова обратился к евклидовым точкам, прямым линиям, плоскостям и старым отношениям инцидентности, порядка и конгруэнтности знакомых фигур — сегментов и углов. Однако этот возврат к прошлому не означал возвращения к старому обману евклидовой геометрии, претендующей на описание фактов об окружающем нас мире. Вместо этого он пытался представить в классических рамках современную точку зрения с ещё большей ясностью, чем Паш или Пеано.
Кратчайшим путем прямой линии на плоскости он довёл до логического конца своё замечание, сделанное шесть лет назад на берлинском вокзале. Сначала он объяснил своей аудитории, что прямая, точка и плоскость, как их определял Евклид, не имеют математического смысла. Они появляются только в связи с теми аксиомами, которые для них выбираются. Другими словами, назвать ли их точками, прямыми, плоскостями или же столами, стульями, пивными кружками, это будут те объекты, для которых справедливы соотношения, выражаемые аксиомами. В некотором смысле это похоже на то, как значение неизвестного слова проясняется по мере использования его в различных контекстах. Каждое дополнительное предложение, в котором оно участвует, исключает некоторые значения, которые могли бы иметь смысл в предыдущих предложениях.
В своих лекциях Гильберт предпочитал использовать традиционный язык Евклида:
«Рассмотрим объекты трёх различных сортов, — говорил он. — Объекты первого сорта будем называть точками и обозначать их буквами A, B, C, ...». «Объекты» остальных двух сортов он назвал прямыми и плоскостями. Между этими «объектами» могут выполняться некоторые соотношения, которые он снова предпочёл называть такими знакомыми терминами, как инцидентны, между, параллельны, конгруэнтны, непрерывны и т.д. Однако, как и сами объекты, соотношения между ними не определяются привычными представлениями о них. Например, первоначальные термины могут обозначать любые объекты с единственным условием, что каждой паре объектов, называемых точками, должен соответствовать один и только один объект, называемый прямой линией, и аналогично для других аксиом.
Результатом такого подхода был тот факт, что теоремы такой геометрии справедливы для любой интерпретации первоначальных объектов и основных соотношений, для которой выполняются аксиомы. (Много лет спустя Гильберт был в высшей мере восхищён, когда обнаружил, что с помощью применения некоторого определённого набора аксиом можно получить законы, управляющие наследственностью дрозофилы: «Так просто и точно и в то же время так таинственно, что никакая смелая фантазия не могла бы этого предсказать!».)
В своих лекциях Гильберт предложил теперь положить в основание геометрии простой и полный список независимых аксиом, позволяющий доказать давно известные теоремы классической геометрии Евклида. Его подход — оригинальное сочетание абстрактной точки зрения и конкретного традиционного языка — был особенно эффективным. «Это было похоже на яркое солнце, внезапно засиявшее над долиной, сквозь мрачные сумерки которой до этого могли найти путь только люди с особым чувством ориентации», — писал позже один из его студентов. Выбрав систему аксиом евклидовой геометрии, немногим отличавшуюся по духу от аксиом самого Евклида, Гильберт смог менее формально и с большей убедительностью и ясностью, чем Пеано или Паш, продемонстрировать существо аксиоматического метода. Его подход был понятен слушателям его лекций, знакомых только с самими Началами Евклида. Для специалистов, которым Начала, несомненно, послужили введением в настоящую математику, этот подход был особенно привлекательным, «как будто смотришь в лицо, хорошо знакомое и в то же время величественно преображенное».