По мнению Пуанкаре, в работе был один-единственный пробел. «По-видимому, профессора Гильберта интересует только логическая сторона дела, — замечает он. — Имея ряд предложений, он находит, что все они следуют из первого. Его не интересует происхождение этого первого предложения с психологической точки зрения... Аксиомы постулируются, мы не знаем их происхождения; при таком подходе столь же легко постулировать A равным C... С этой стороны его работа несовершенна, но за это её не стоит осуждать. В действительности надо смириться с тем, что никто не может достигнуть совершенства. Достаточно того, что он помог философии математики сделать важный шаг вперёд...»
Американский рецензент пророчески писал: «Широкое распространение принципов этой работы принесёт много пользы для логического метода в любой науке и для ясного мышления и выражения мысли вообще».
По мнению Макса Дена, бывшего в то время слушателем его лекций, решающим фактором, определившим влияние работы Гильберта, был «характерный гильбертов дух... соединяющий в себе логическую мощь с крайним чувством реальности, презирающий условности и традиции, почти с кантианским удовольствием преобразующий любую существенную идею в свою противоположность, полностью использующий преимущества свободы математического мышления!».
В большой мере успех Гильберта, как и самого Евклида, обязан стилю и логическому совершенству изложения работы, а не её оригинальности. Однако, кроме привлекательного и легко воспринимаемого изложения современной точки зрения, он сделал ещё кое-что, оказавшееся чрезвычайно важным. Установив образец современного строгого мышления в виде традиционной лестницы — первичные понятия, аксиомы, теоремы, — он пошёл значительно дальше. Став в последующие годы общепринятым, его подход получил название «метаматематика» — буквально: «за пределами математики». В отличие от Евклида Гильберт требовал, чтобы его система аксиом удовлетворяла некоторым логическим требованиям:
Она должна быть полной, т.е. такой, чтобы из неё можно было вывести любую теорему.
Она должна быть независимой, т.е. отсутствие одной из аксиом системы делает невозможным доказательство, по крайней мере, одной теоремы.
Она должна быть непротиворечивой, т.е. не позволяющей получать противоречащих друг другу теорем.
Наиболее значительной стороной этой части работы Гильберта была предпринятая им попытка доказать последнее требование — что аксиомы непротиворечивы. Это эквивалентно доказательству того, что обращение с ними никогда не приведёт к противоречию; короче, что, исходя из данных аксиом, невозможно получить как саму теорему, так и её отрицание. При новом понимании математической теории как системы теорем, выводимых дедуктивным путём из множества произвольно выбранных аксиом, понятие непротиворечивости теории было единственной заменой интуитивной истины.
Как мы видели, один метод доказательства непротиворечивости уже был. Этим методом было доказано, что любое противоречие в неевклидовой геометрии влечёт некоторое противоречие в евклидовой геометрии. Таким образом, было показано, что неевклидова геометрия столь же непротиворечива, как и евклидова геометрия.
Следующий шаг, предпринятый Гильбертом, был явно беспрецедентным, хотя и довольно очевидным. Используя методы аналитической геометрии, он показал, что любое противоречие в евклидовой геометрии должно повлечь противоречие в арифметике вещественных чисел. Тем самым вопрос о непротиворечивости евклидовой и неевклидовой геометрии был сведён к аналогичному вопросу об арифметике вещественных чисел, которая, по мнению всех математиков, считалась непротиворечивой.
Спустя несколько месяцев после выхода из печати небольшая книжка Гильберта об основаниях геометрии стала бестселлером в математической литературе. Были запланированы переводы её на французский и английский языки, позже она была переведена и на другие языки 10. Студенты Гильберта, только год назад слышавшие, что он говорил «только о полях алгебраических чисел», с изумлением наблюдали за успехом этой книги. Каким образом Гильберту снова удалось вторгнуться в новую область математики и создать в ней выдающееся зрелое произведение? Однако в тот момент, когда они задавали себе этот вопрос, Гильберт начал публиковать работы в ещё одной, совершенно новой области математики.
IX ПРОБЛЕМЫ
«Чистая математика развивается, когда к решению старых проблем привлекаются новые методы, — любил говорить своим ученикам Клейн. — Приобретаемое таким образом лучшее понимание старых вопросов приводит к возникновению новых проблем».