По-видимому, лучшей иллюстрацией к этому утверждению Клейна был проект, за который взялся Гильберт. Летом 1899 года, сразу же после издания Оснований геометрии, он обратился к одной старой знаменитой проблеме, известной как принцип Дирихле. С этой проблемой были связаны имена всех крупнейших представителей математической школы Гёттингена.
Суть этой проблемы составляла одна логическая трудность, на которую стали обращать внимание только со времен Вейерштрасса. Гаусс, Дирихле, Риман и другие предполагали, что всегда существует решение так называемой краевой задачи для уравнения Лапласа. Это предположение было основано на физической интуиции, позволяющей всегда считать, что в соответствующей реальной ситуации, описываемой этой математической задачей, должен был быть определённый физический результат, или решение. Кроме того, с чисто математической стороны Гаусс заметил, что краевая задача для этого же уравнения может быть сведена к задаче минимизации некоторого двойного интеграла от функций с непрерывными частными производными, имеющих заданные граничные значения. В силу положительности этого двойного интеграла, очевидно, должна была существовать наибольшая нижняя грань для его значений, из чего делался вывод, что для одной из рассматриваемых функций этот интеграл принимал значение этой грани.
Рассуждение такого рода стало известно под названием принципа Дирихле после того, как Бернгард Риман весьма свободно пользовался им в докторской диссертации 1851 года для обоснования своей геометрической теории функций и присвоил ему имя своего учителя Лежёна Дирихле. Последний затрагивал в своих лекциях частный случай этого принципа.
Сейчас, оглядываясь в прошлое, мы считаем диссертацию Римана одним из самых крупных событий в истории современной математики. В те же времена, однако, доверие к ней было подорвано, когда Вейерштрасс подверг критике принцип Дирихле. Как указывал Вейерштрасс, предположение о том, что среди допустимых функций должна существовать та, на которой интеграл принимает своё наименьшее значение, не является обоснованным с математической точки зрения.
Для нематематика может показаться бессмысленным выдвинутое Вейерштрассом требование математического обоснования принципа, безусловно применимого в физических ситуациях. Но в действительности это не так, что и признал сам Риман после критики Вейерштрасса. Только строгое математическое доказательство может установить окончательную истинность математического утверждения и гарантировать, что оно всегда дает адекватное математическое описание физического явления.
Сам Риман, однако, не был серьёзно обеспокоен критикой Вейерштрасса. Ему принадлежало не одно открытие в теории функций, основанное на аналогичных физических ситуациях, связанных, в частности, с распространением электричества в проводнике. Он верил, что задача, которая «разумна физически», будет «разумна математически». Риман был убеждён, что, если потребуется, можно будет получить и математическое доказательство существования искомого минимума. Однако он умер молодым, не дожив до сорока лет; спустя же несколько лет после его смерти Вейерштрасс смог с уверенностью показать, что принцип Дирихле не всегда выполняется. Для этого он построил пример, в котором нельзя было найти функции, минимизирующей интеграл при заданных граничных условиях.
Это могло бы означать конец принципа Дирихле, но этого не случилось. Хотя на некоторое время математики и отвернулись от теории Римана, она была слишком важна в математической физике, чтобы сбрасывать её со счетов. Так как сам принцип оказался в общем случае неверным, математикам пришлось изобретать различные искусные ad hoc 11 методы доказательства теорем существования, которые Риман получал на основе принципа Дирихле. Таким образом им удалось, хотя и не с тем изяществом, получить, по существу, такие же конечные результаты, что и Риману.
К тому времени, когда Гильберт обратился к принципу Дирихле, математики потеряли всякую надежду на его спасение. Совсем незадолго до этого Карл Нейман (сын Франца Неймана), которому принадлежали одни из важнейших работ в этой области, посетовал на то, что принцип Дирихле, «такой красивый и имеющий такие важные приложения в будущем, навечно исчез из поля зрения».
В отличие от многих своих современников, для которых требование строгости было обузой, Гильберт был твёрдо убеждён, что строгость ведёт к упрощению. Он испытывал чувство глубокого восхищения перед тем, как Вейерштрасс смог преобразовать интуитивный анализ непрерывности в строгую и логическую систему. Однако он не позволил дать себя увлечь вейерштрассовской критикой принципа Дирихле. Для него, как он говорил, «заманчивая простота и несомненное богатство возможных приложений» принципа сочетались с «убеждённостью в заложенной в нём истине».