Трудно, а часто и невозможно заранее правильно оценить значение отдельной задачи; ведь в конечном счёте её ценность определится пользой, которую она принесёт науке. Тем не менее мы можем спросить, существуют ли общие признаки, которые характеризуют хорошую математическую проблему. Один старый французский математик сказал: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал её настолько ясной, что берёшься изложить её содержание первому встречному». Это требование ясности и лёгкой доступности, которое здесь так резко ставится в отношении математической теории, я бы поставил ещё резче в отношении математической проблемы, если она претендует на совершенство; ведь ясность и легкая доступность нас привлекают, а сложное отпугивает.
Математическая проблема, кроме того, должна быть настолько трудной, чтобы нас привлекать, и в то же время не совсем недоступной, чтобы не сделать безнадёжными наши усилия. Она должна быть путеводным знаком на извилистых тропах, ведущих к сокрытым истинам, награждая в конце концов нас радостью найденного решения.
Математики прошлых столетий привыкли со страстным рвением отдаваться решению отдельных трудных задач. Они знали цену трудной задаче. Я напомню только поставленную Иоганном Бернулли задачу о линии быстрейшего спуска. Как показывает опыт, объяснял Бернулли, публично оповещая о своей задаче, ничто с такой силой не побуждает высокие умы к работе над обогащением знания, как постановка трудной и в то же время полезной задачи. Поэтому он надеется заслужить благодарность математического мира, если он, следуя примеру таких мужей, как Мерсенн, Паскаль, Ферма, Вивиани и другие, подобно им в своё время, предложит задачу выдающимся аналитикам своего времени, чтобы они могли на ней, как на пробном камне, испытать достоинства своих методов и измерить свои силы. Этой задаче Бернулли и другим аналогичным задачам обязано своим зарождением вариационное исчисление.
Известно утверждение Ферма о том, что диофантово уравнение
xn + yn = zn
неразрешимо в целых числах, если не считать некоторых очевидных решений. Проблема доказательства этой неразрешимости даёт поразительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и, на первый взгляд, малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию закона об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая благодаря её обобщению на произвольные поля алгебраических чисел, полученному Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.
Если касаться совершенно другой области исследований, то я напомню вам о задаче трёх тел. То обстоятельство, что Пуанкаре предпринял новое рассмотрение и почти приблизился к решению этой трудной задачи, привело к плодотворным методам и далеко идущим принципам, введённым этим учёным в небесную механику, методам и принципам, которые сейчас признаются и применяются также и в практической астрономии.
Обе упомянутые проблемы — проблема Ферма и проблема трёх тел — кажутся нам как бы противоположными полюсами: первая представляет собой свободное достижение чистого разума, принадлежащее области абстрактной теории чисел, вторая выдвинута астрономией и необходима для познания простейших основных явлений природы.
Часто, однако, случается, что одна и та же специальная проблема находит приложение и весьма различных областях математического знания. Так, проблема о кратчайшей линии играет важную историческую и принципиальную роль одновременно в основаниях геометрии, в теории кривых и поверхностей, в механике и в вариационном исчислении. А как убедительно продемонстрировал Ф. Клейн в своей книге об икосаэдре значение проблемы правильных многогранников в элементарной геометрии, теории групп, теории алгебраических и линейных дифференциальных уравнений.
Чтобы осветить важность отдельных проблем, я позволю себе ещё сослаться на Вейерштрасса, считавшего для себя большой удачей то стечение обстоятельств, которое позволило ему в начале своей научной деятельности заняться такой значительной проблемой, как проблема обращения Якоби.
После того как мы рассмотрели общее значение проблем в математике, обратимся к вопросу о том, из какого источника математика черпает свои проблемы. Несомненно, что первые и самые старые проблемы в каждой области математики возникли из опыта и поставлены нам миром внешних явлений. Даже правила счёта с целыми числами были открыты на этом пути ещё на ранней ступени человеческого развития так же, как и теперь ребёнок познаёт применение этих правил эмпирическим методом. То же относится к первым задачам геометрии, пришедшим с античных времен, таким, как например, удвоение куба, квадратура круга, а также к старейшим задачам теории численных уравнений, теории кривых, дифференциального и интегрального исчислений, вариационного исчисления, теории рядов Фурье и теории потенциала, не говоря уже о всём богатстве проблем собственно механики, астрономии и физики.