Сделаем ещё несколько замечаний относительно трудностей, которые могут представлять математические проблемы, и о преодолении этих трудностей.
Если нам не удаётся найти решение математической проблемы, то часто причина этого заключается в том, что мы ещё не овладели достаточно общей точкой зрения, с которой рассматриваемая проблема представляется лишь отдельным звеном в цени родственных проблем. Отыскав эту точку зрения, мы часто не только делаем более доступной для исследования данную проблему, но и овладеваем методом, применимым и к родственным проблемам. Примерами могут служить введённое Коши интегрирование по путям на комплексной плоскости и понятие идеала, введённое Куммером в теории чисел. Этот способ нахождения общих методов наиболее удобный и надежный, ибо если ищут общие методы, не имея в виду какую-нибудь определённую задачу, то эти поиски по большей части напрасны.
При исследовании математических проблем специализация играет, как я полагаю, ещё более важную роль, чем обобщение. Возможно, что в большинстве случаев, когда мы напрасно ищем ответа на вопрос, причина нашей неудачи заключается в том, что ещё не разрешены или полностью не решены более простые и лёгкие проблемы, чем данная. Тогда всё зависит от того, сумеем ли мы найти эти более лёгкие проблемы и осуществить их решение наиболее совершенными средствами, используя понятия, поддающиеся обобщению. Это правило является одним из самых мощных рычагов для преодоления математических трудностей, и мне кажется, что в большинстве случаев этот рычаг и приводят в действие, подчас бессознательно.
Бывает и так, что мы ищем решение при недостаточных предпосылках или идя в неправильном направлении, вследствие чего и не достигаем цели. Тогда возникает задача доказать неразрешимость данной проблемы при данных предположениях и выбранном направлении. Такие доказательства невозможности проводились ещё математиками древности, например, когда они показывали, что отношение гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника к его катету есть иррациональное число. В новейшей математике вопрос о невозможности решений определённых проблем имеет выдающееся значение; таким образом, мы приходим к тому, что такие старые и трудные проблемы, как доказательство аксиомы о параллельных, как квадратура круга или решение уравнения пятой степени в радикалах, получают, наконец, строгое и вполне удовлетворяющее нас решение, хотя и в другом направлении, чем то, которое сначала предполагалось. Возможно, именно этот удивительный факт, наряду с другими философскими основаниями, создает уверенность (которую разделяет каждый математик, но которую до сих пор никто не подтвердил доказательством) в том, что каждая определённая математическая проблема непременно должна быть доступна точному решению либо в форме действительного ответа на поставленный вопрос, либо в форме доказательства невозможности её решения и вместе с тем неизбежной неудачи всех попыток её решить. Возьмите какую-нибудь определённую нерешённую проблему, скажем вопрос об иррациональности постоянной Эйлера ? или вопрос о существовании бесконечного количества простых чисел вида 2n + 1. Сколь недоступными нам ни кажутся эти проблемы сейчас и как ни беспомощно мы стоим сейчас перед ними, мы тем не менее твёрдо убеждены, что с помощью конечного числа логических заключений мы всё же получим их решение.
Является ли эта аксиома разрешимости каждой проблемы характерной особенностью только математического мышления или, быть может, имеет место общий, внутренне присущий нашему разуму закон, по которому все вопросы, которые он ставит, могут быть им разрешены? Ведь и в других науках также встречаются старые проблемы, которые были самым удовлетворительным образом и к величайшей пользе науки разрешены путем доказательства невозможности их решения. Я сошлюсь на проблему вечного движения. После безуспешных попыток конструирования вечного двигателя учёные стали исследовать соотношения, которые должны существовать между силами природы, в предположении, что такой двигатель невозможен. И эта обратная задача привела к открытию закона сохранения энергии, из которого и вытекает невозможность вечного движения в первоначальном понимании его смысла.
Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас мощным стимулом в работе. Мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи её решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus».