В этом месте, пытаясь последовать совету Минковского и Гурвица и сократить свою речь, Гильберт перечислил только 10 проблем из полного списка, насчитывающего 23 проблемы. (Однако, так как позже эти проблемы стали известны под своими номерами в полном списке, мы приводим их в том же порядке.)
Первые три проблемы относятся к основаниям математики:
1. Доказать «континуум-гипотезу» Кантора: каждое 15 множество вещественных чисел находится во взаимно однозначном соответствии либо с множеством натуральных чисел, либо с множеством всех вещественных чисел (т.е. с континуумом).
2. Исследовать непротиворечивость аксиом арифметики.
6. Аксиоматизировать те физические науки, в которых важную роль играет математика.
«Мы до сих пор занимались только вопросами об основаниях математических наук. Действительно, занятия основами науки имеют особую привлекательность и изучение этих основ всегда принадлежит к наиболее почётным задачам исследователя. Вейерштрасс говорил: «Конечная цель, которую всегда нужно иметь в виду, состоит в том, чтобы достичь правильной точки зрения на основания... Но чтобы добиться какого-нибудь прогресса в науках, безусловно необходимо заниматься отдельными проблемами». В самом деле, для плодотворного исследования основ науки необходимо глубокое понимание её специальных теорий. Только тот строитель в состоянии заложить надёжный фундамент здания, который глубоко и во всех деталях понимает назначение этого здания».
Следующие четыре проблемы были взяты из арифметики и алгебры:
7. Доказать трансцендентность или, по крайней мере, иррациональность определённых чисел.
8. Доказать правильность чрезвычайно важного утверждения, высказанного Риманом: все нули определённой функции, известной как «дзета-функция», за исключением известных нулей, принадлежащих множеству отрицательных целых чисел, имеют вещественную часть, равную 1/2.
13. Доказать невозможность представления решения общего уравнения седьмой степени в виде суперпозиции функций от двух переменных.
16. Тщательно исследовать возможное положение различных ветвей, которые может иметь плоская алгебраическая кривая порядка n, когда число таковых максимально... а также аналогичный вопрос о числе, форме и положении компонент алгебраической поверхности в пространстве.
Последние три проблемы возникли из теории функций:
19. Выяснить аналитичность решений «регулярных» задач вариационного исчисления.
21. Показать, что всегда существует линейное дифференциальное уравнение типа Фукса, имеющее заданные особые точки и группу монодромии.
22. Обобщить теорему Пуанкаре, утверждающую, что любое алгебраическое соотношение между двумя переменными можно униформизовать с помощью автоморфных функций от одной переменной.
«Названные проблемы, — сказал своим слушателям Гильберт, — представляют собой только образцы проблем; но их достаточно, чтобы показать, как богата, многообразна и широка математическая наука уже сейчас; перед нами встаёт вопрос, ожидает ли математику когда-нибудь то же, что с другими науками происходит с давних пор, не распадётся ли она на отдельные частные науки, представители которых будут едва понимать друг друга и связь между которыми будет становиться всё меньше. Я не верю в это и не хочу этого. Математическая наука, на мой взгляд, представляет собой неделимое целое, организм, жизнеспособность которого обусловливается связностью его частей. Ведь при всём разнообразии математического знания мы всё же ясно видим сходство логических вспомогательных средств, связь математических идей и многочисленные аналогии в различных областях математики. Мы также замечаем, что чем дальше развивается математическая теория, тем гармоничнее и более цельно оформляется её сооружение и между разделёнными в прошлом областями открываются неожиданные связи. Так оказывается, что при развитии математики её единый характер не теряется, а становится всё более отчетливым.
Но, — спросим мы, — не становится ли при расширении математического знания в конце концов невозможным для отдельного исследователя охватить все его части? Отвечая на это, я хочу сослаться на то, что существо математической науки таково, что каждый действительный успех в ней идет рука об руку с нахождением более сильных вспомогательных средств и более простых методов, которые одновременно облегчают понимание более ранних теорий и устраняют старые, более сложные рассуждения. Поэтому отдельному исследователю, если он усвоит эти более сильные и простые вспомогательные средства и методы, удастся легче ориентироваться в различных областях математики, чем это возможно в каких-либо других науках.