После Парижа сам Гильберт продолжал заниматься геометрическими исследованиями, однако бoльшую часть времени посвящал анализу. Эта область математики существенно отличается от тех областей, в которых ему приходилось работать раньше. В алгебре и арифметике вычисления обычно затрагивают только конечное число величин и кончаются после конечного числа шагов. Анализ имеет дело с континуумом. При решении задач приходится доказывать, что некоторые бесконечные последовательности сходятся к определённому пределу. Став теперь ярым поборником аксиоматического метода, Гильберт думал, что в анализе он найдёт возможность продемонстрировать впечатляющую силу этого метода «объединять, упорядочивать и прояснять».
«Для меня представляет особый интерес, — заметил он позже, — заняться исследованием условий сходимости, позволяющих построить данную область анализа, положив в её основу ряд простейших фундаментальных утверждений, для доказательства которых требуется лишь специальное условие сходимости. Затем, используя лишь одно это условие, — без привлечения какого-либо другого условия сходимости — можно будет установить всю совокупность теорем, составляющую данную область анализа».
Это несколько напоминало то, что пытался сделать Риман из принципа Дирихле; Гильберт тоже думал, что ему удастся найти «один простой фундаментальный факт», необходимый ему в вариационном исчислении.
И вот однажды зимой 1900–1901 года один студент из Швеции принёс на семинар Гильберта недавно опубликованную работу по интегральным уравнениям, принадлежавшую его соотечественнику Ивару Фредгольму.
Интегральные уравнения — это функциональные уравнения специального типа, история которых тесно связана с задачами математической физики, в частности с проблемой колебания твёрдого тела. Теория таких уравнений развивалась очень медленно. Однако теперь Фредгольм дал красивое и оригинальное решение одного класса таких уравнений (позже названных его именем), которое открывало соблазнительную аналогию между интегральными уравнениями и алгебраическими линейными уравнениями.
Гильберт сразу же понял, что в этой работе Фредгольм оказался гораздо ближе к той унифицирующей точке зрения на анализ, которую он сам искал в вариационном исчислении. Он гордился своей способностью не связывать себя какой-либо определённой программой и видеть вещи такими, какие они есть, а не такими, какими ему хотелось бы их видеть. Теперь он без сожалений отбросил свои первоначальные планы и с впечатляющей энергией занялся областью интегральных уравнений. Так навсегда и осталось невыясненным (как заметил Блюменталь), удалось бы Гильберту внести в методы вариационного исчисления гибкость и мощь, способную преобразовать весь анализ. Теперь же Гильберт говорил со своими студентами только об интегральных уравнениях.
Именно в это время один молодой японец по имени Тейжи Такаги прибыл в Гёттинген на субсидию, выданную ему его страной. Ему суждено было стать одним из шести математиков, развивших идеи теории полей классов, намеченные Гильбертом в его последней работе по полям алгебраических чисел. Он уже был автором маленькой книги по Новой арифметике, очень простой по сравнению с недавней работой Гильберта по теории чисел, но намного опережавшей математический уровень его родной страны того времени. Теперь он предвкушал удовольствие поработать с автором Zahlbericht. Но когда Такаги приехал в Гёттинген, Гильберту нечего было ему сказать о теории чисел. Взамен этого в личных беседах и на лекциях он предлагал своим ученикам наброски некоторых идей, которые он со временем использует в своей общей теории интегральных уравнений.
Другим студентом, прибывшим в это время в Гёттинген, был Эрхард Шмидт. Он приехал туда из Берлина, чтобы «разведать» математическую обстановку в Гёттингене и сравнить её с тем, что делалось в столице под руководством грозного трио, состоявшего из Фукса, Г. А. Шварца и Фробениуса. Первый из них был тот самый Фукс, у которого Гильберт учился в Гейдельберге; Шварц, благодаря которому Клейн получил место в Гёттингене, два раза в месяц организовывал коллоквиум, пользовавшийся международной известностью; Фробениус, по слухам, читал самые совершенные лекции по математике в Германии, «единственным недостатком которых», по мнению одного студента, «было то, что в силу их совершенства в них не находилось места даже для намёка о существовании каких-либо нерешённых проблем». Тем не менее математики Гёттингена произвели такое впечатление на Шмидта, что он решил не возвращаться в Берлин.