Хотя между ним и Клейном было «полное доверие и общность интересов» (его собственные слова), они не были близки друг с другом. После приезда Гильберта в Гёттинген Клейн всё больше и больше посвящал себя деятельности, не имевшей непосредственного отношения к математике.
Кроме преподавательских и административных обязанностей, он являлся главной действующей силой многочисленных проектов: плана 30-томной математической энциклопедии; только что организованной Международной школьной комиссии, которая ставила себе целью изучение развития педагогических методов «во всех цивилизованных странах», начиная с детских садов и кончая средней школой; попытки улучшить и расширить научное образование в немецких средних школах и соединить на университетском уровне техническую и математическую подготовку; лелеемых со времени поездки в Америку замыслов об оплодотворении технических и прикладных наук методами чистой математики.
Гильберт мало интересовался этими проектами Клейна.
Кроме того, с возрастом Клейн становился всё более величественным. Любимая шутка среди студентов была следующая: В Гёттингене есть два сорта математиков — первые делают то, что им нравится, а не то, что нравится Клейну; вторые делают то, что хочет Клейн, а не то, чего они хотят. Клейн не относится ни к тем, ни к другим. Значит, Клейн не математик.
Клейн интересовался своими студентами и тратил много времени на беседы с ними. Тем не менее он всегда оставался недосягаемым для них. Свои идеи он раздавал, по словам одного из его студентов, «с королевской радостью от своего собственного богатства» и «направлял своих учеников с твёрдой уверенностью именно к тому месту, которое больше всего соответствовало его индивидуальности». В своём кругу студенты называли его «великий Феликс». В Гёттингене говорили, что на обеде в доме Клейна студент находился в таком благоговении перед хозяином, что подчас отвечал на его вопросы стоя.
Обед у Клейнов с Паулем Горданом (крайний слева), Клейном (в центре) и Кёте Гильберт (крайняя справа)
Гильберт не чувствовал, однако, никакой личной опасности со стороны Клейна. Несколько лет назад, когда ему была предложена кафедра Софуса Ли в Лейпциге, он советовался с Минковским о целесообразности принятия решения покинуть Гёттинген. Минковский указал на то, что, быть может, если бы Гильберт был «пространственно разделён» с Клейном, «внешний мир» легко распознал бы, что именно он является в настоящее время величайшим математиком в Германии. Однако этот аргумент не подействовал. Гильберт отказался от места в Лейпциге.
Но теперь Гильберт всё больше сознавал, что в их взаимоотношениях с Клейном не хватает чего-то нужного для него и этого Клейн по своей природе никогда не смог бы и дать. Затем, спустя несколько месяцев после его сорокалетия, ему представилась другая возможность покинуть Гёттинген. Умер Лазарус Фукс, и Гильберту было сделано почётное предложение — кафедра Фукса в Берлине.
Когда новость о «вызове» Гильберта стала известна среди доцентов и старшекурсников, все были страшно расстроены. Многие из них приехали в Гёттинген специально из-за Гильберта. А некоторые, как, например, Эрхард Шмидт и его друзья, приехали из самого Берлина. Тем не менее казалось совершенно естественным, что Гильберт, ведущий немецкий математик, захочет получить место в столице. Хотя и не надеясь особо на возможность повлиять на его решение, они направили к нему домой трёх студентов во главе с Вальтером Литцманом, которым было поручено вручить Гильберту петицию с просьбой остаться в Гёттингене. Госпожа Гильберт угощала их пуншем в саду. Гильберт без комментариев выслушал то, что они должны были ему сказать.
Ушли они обескураженными. Срок времени, отпущенный ему для принятия решения, его частые поездки в Берлин, его необычайная нервозность на лекциях — всё заставляло их верить в то, что он собирается принять берлинское приглашение.
Однако на самом деле Гильберт пытался решить личную проблему тем же способом, которым он привык решать проблемы в математике. Он не хотел покидать Гёттинген. Как объяснял он Минковскому ещё во время Лейпцигского приглашения, жизнь в маленьком городке давала ему больше сил в работе, облегчала научные контакты и предоставляла больше возможностей для общения с природой, Он хорошо сознавал также преимущества, которые получал от административного гения Клейна. Он также находил смысл в том, чтобы ведущий немецкий математик оставался в университете Гаусса. Но он знал, что оставаться счастливым в Гёттингене можно было только в компании о коллегой, научные и личные связи с которым могли бы сравниться с теми, которые он имел в Кёнигсберге с Минковским. Решение этой проблемы было очевидным. Существовало лишь одно неписаное правило, когда приглашали в другой университет. Вместо того, чтобы пытаться улучшить своё собственное профессиональное положение, можно было стараться улучшить положение своего родного факультета или своей области науки. Нернст, которому недавно было предложено место в Мюнхене, получил за счет отказа от него самую лучшую физико-химическую лабораторию в Германии. Теперь Гильберт с одобрения и поддержки Клейна предложил Альтхофу учредить ещё одну должность профессора математики в Гёттингене и предложить её Минковскому.