Занятия физикой продолжались. На Минковского сильное впечатление производили загадки электродинамики, связанные с недавними работами Х. А. Лоренца. Однако это не отвлекало Гильберта от его собственных занятий интегральными уравнениями. В 1904 году он послал второе сообщение научному обществу, в котором существенно развил идею Фредгольма. В своей классической работе Фредгольм открыл аналогию между интегральными уравнениями и линейными алгебраическими уравнениями. Гильберт пошёл теперь дальше и нашёл аналог приведения квадратичной формы от n переменных к главным осям. Используя связанную с этим комбинацию идей анализа, алгебры и геометрии, он развил свою теорию собственных функций и собственных значений — эта теория, как выяснилось позже, оказалась тесно связанной с физической теорией собственных колебаний.
Рихард Курант, студент в Геттингене.
Неспециалист лучше всего поймёт дух и значение этой работы в следующей её оценке, которую даст впоследствии один из студентов Гильберта.
«Важность научного достижения часто не ограничивается получением новых результатов вдобавок к уже имеющимся, — отметит Рихард Курант. — Не менее важным для прогресса науки может быть новое понимание, которое вносит порядок, ясность и простоту в уже существующие, но труднодоступные области и тем самым облегчает или даже впервые даёт возможность обозреть, понять и в совершенстве овладеть наукой как единым целым. Мы не должны забывать этой точки зрения в связи с работой Гильберта в области анализа... ибо [всё это] демонстрирует характерное для него стремление найти в решении новой проблемы такие методы, которые помогают преодолеть старые трудности, устанавливают новые связи между уже имеющимися результатами и сливают в единое русло многочисленные потоки индивидуальных исследований».
Именно в этот счастливый, творческий период жизни Гильберта он получил новое приглашение покинуть Гёттинген. Лео Кёнигсбергер оставит свою кафедру в Гейдельберге, если Гильберт согласится её принять.
Хотя Кёте одобряла эту перемену, Гильберт отказался от приглашения.
Однако он не преминул использовать возможность для переговоров о дальнейших выгодах для математики ценою своего отказа покинуть Гёттинген. На одно из его предложений Альтхоф возразил: «Но мы не имеем этого даже в Берлине!»
«Ja 5, — радостно заметил Гильберт, — но Берлин ведь не Гёттинген!»
XIII САМООТВЕРЖЕННАЯ ЖИЗНЬ В НАУКЕ
В начале двадцатого столетия студентам-математикам всего мира давался один и тот же совет: «Собирайте свои вещи и отправляйтесь в Гёттинген!»
Иногда казалось, что маленький городок целиком состоит из математиков. Но следует отметить, что были здесь и другие люди и для некоторых из них la grande affaire 6 было совсем другим. Один французский журналист, выбравший Гёттинген как лучшее место для наблюдения за немецкими студентами в естественной для них обстановке, больше всего был поражен тюрьмой на третьем этаже Большого зала университета. На Веендерштрассе он увидел не математиков, а молодых людей, которые «прогуливались как лорды», с яркими цветами студенческих общин дуэлянтов, украшавшими козырьки их фуражек, и с лицами, как правило, в повявках. «Они оставляют за собой, — сообщал он, — тошнотворный запах йода, которым насквозь пропитан весь Гёттинген». Однако математики предпочитали пересказывать, как на Веендерштрассе Минковский, увидев молодого человека, размышлявшего над явно серьёзной задачей, похлопал его по плечу и сказал: «Конечно, он должен сходиться» — и молодой человек ответил благодарной улыбкой.
Давно прошли те дни, когда Гильберт читал свои лекции по аналитическим функциям в присутствии одного лишь профессора Франклина. Теперь, чтобы послушать его лекции, в аудиторию набивалось иногда по нескольку сот человек, многие из которых могли найти место только на подоконнике. Ни состав, ни количество слушателей не производили впечатления на Гильберта. «Если бы сам император вошёл в зал, — говорил Гуго Штейнгауз, который приехал в это время в Гёттинген, — Гильберт бы не прореагировал».