Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям начинались с того, что на доске выписывались два уравнения: y" = 0 и y" + y = 0. «Meine Herren, 7 — говорил он, — на них вы можете изучить всю теорию и даже понять разницу в задачах с начальными или с краевыми условиями».
«Предложение «Все девочки по имени Кёте красивы» не является всеобщим законом, — объяснял он перед другой аудиторией. — Действительно, оно зависит от выбранного имени, а последнее произвольно».
Разница между утверждением чистого существования и конкретным построением иллюстрировалась заявлением, всегда вызывавшим смех среди студентов: «Среди сидящих в этой аудитории существует один с наименьшим количеством волос».
Кроме своих собственных лекций, Гильберт регулярно вёл семинар с Минковским. В 1905 году после года изучения физики они решили посвятить свой семинар одной из её областей — электродинамике движущихся сред. Хотя первоначальная инициатива исходила от Минковского, Гильберт играл в нём активную роль и был полноправным партнёром, по мнению Борна, «часто проясняя и постоянно стремясь к ясности».
Для Борна и других студентов семинарские занятия представляли собой волнующие и побуждающие к мысли часы. Сокращение Фицджеральда, местное время по Лоренцу, эксперимент Майкельсона—Морли с интерференцией — всё это обсуждалось подробнейшим образом, и «мы узнавали совершенно фантастические утверждения из электродинамики».
Одним из тех совпадений, которые не так уж редко бывают в истории науки, было то, что именно в этот год похожие идеи появились в серии работ одного служащего бюро патентов в Берне по электродинамике и специальной теории относительности. «Но об этом, — говорил Борн, — в Гёттингене ещё ничего не было известно, а имя Эйнштейна ни разу не упоминалось на семинаре Гильберта — Минковского».
Борн, на которого произвели большое впечатление идеи, обсуждаемые на семинаре, решил взять из этой области тему для своей диссертации. Однако на другом семинаре он впал в немилость у Клейна, а в Гёттингене считалось аксиомой, что тем, к кому великий Феликс не благоволил, приходилось плохо. Поэтому, чтобы не подвергать себя риску на экзамене по геометрии у Клейна, Борн переключился на астрономию. Ему всё равно пришлось бы экзаменоваться по математике, но в этом случае экзаменатором был бы Гильберт.
Перед экзаменом Борн попросил у Гильберта совет по подготовке к вопросам по математике.
«В какой области вы чувствуете себя наименее подготовленным?» — спросил Гильберт.
«В теории идеалов».
Гильберт больше ничего не сказал, и Борн решил, что из этой области ему не будут задавать вопросов. Но в день экзамена все вопросы Гильберта относились к теории идеалов.
«Ja, ja, — говорил позже Гильберт, — мне было просто интересно узнать, что вы знаете о вещах, о которых вы ничего не знаете».
После 1905 года Минковский почти полностью переключился на электродинамику. Работа Эйнштейна стала известной в Гёттингене, и Минковский припомнил своего бывшего студента. «Ach, der Einstein, — разочарованно сказал он, — der schwanzte immer die Vorlesungen — dem hatte ich das gar nicht zugetraut». (Ax, этот Эйнштейн, всегда пропускавший лекции; я бы никогда не поверил, что он способен на такое!)
Гильберт продолжал свои исследования в области интегральных уравнений. Поддерживая тесную связь между этими исследованиями и своей педагогической деятельностью, он часто обсуждал свои результаты на лекциях и семинарах ещё до того, как они принимали законченный вид. Часто случалось, что прогресс в его работе был обязан такого рода сотрудничеству со своими студентами, которые, как он с удовольствием вспоминал позже, «постоянно оказывали помощь в нахождении более точных формулировок, а также иногда и в расширении области исследований». Например, в 1904 году он опубликовал свою теорию собственных функций и собственных значений. В самой важной части она была ещё слишком «тяжеловесной». Затем в 1905 году Эрхард Шмидт заложил в своей диссертации новые основы теории Гильберта, которым из-за их ясности и краткости было суждено сыграть важную роль. Именно в это время, в 1905 году, Венгерская Академия Наук поразила математический мир объявлением об учреждении внушительной премии в 10 000 золотых крон, предназначавшейся математику, чьи достижения за последние 25 лет внесли наибольший вклад в развитие математики. Эта премия стала известной как премия Бояи, названная в честь Яноша Бояи, венгерского математика, одного из создателей неевклидовой геометрии, и его отца Фаркаша Бояи, друга Гаусса со студенческих времён.