Вспоминая своё детство, Гильберт однажды объяснял: «В школе математикой я занимался мало, так как знал, что буду этим заниматься позже». Однако наступило время сменить это философское настроение. В сентябре 1879 года, в начале последнего учебного года в гимназии, он перешёл из Фридрихс-колледжа в Вильгельм-гимназию. Это была государственная школа, в которой уделялось значительно больше внимания математике и даже затрагивались некоторые новые достижения в геометрии.
В то же время юный вундеркинд Герман Минковский успел обойти Давида, который был старше его на два года. Весной этого года «благодаря превосходной памяти и способности схватывать на лету» (как позже вспоминал Гильберт) Минковский закончил за пять с половиной лет восьмилетний курс Альтштадтской гимназии и поступил в местный университет.
В Вильгельм-гимназии Давид чувствовал себя много счастливее, чем в Фридрихс-колледже. Наконец-то учителя оценили и начали поощрять его оригинальную личность, и позже он часто вспоминал их с признательностью. Оценки стали лучше — почти по всем предметам «хорошо» (немецкий, латинский, греческий, теология и физика), а по математике «vorzuglich» — наивысшая в то время оценка. После исключительно успешной сдачи письменного экзамена его освободили от заключительного выпускного устного экзамена. Характеристика на обратной стороне удостоверения об окончании гимназии оценивала его поведение как «показательное», отмечала его прилежание и «серьёзный интерес к науке». Заканчивалась она следующим: «Что касается математики, то здесь он всегда проявлял живой интерес и глубокое понимание: он самым лучшим образом овладел всем материалом, проходившимся в школе, и научился применять его с уверенностью и изобретательностью».
Так впервые упоминается о Гильберте-математике.
II ДРУЗЬЯ И УЧИТЕЛЯ
Большой удачей для Гильберта было то, что университет его родного города, хотя и отдалённый от основного центра событий в Берлине, по своим научным традициям являлся одним из самых выдающихся в Германии.
Якоби преподавал в Кёнигсберге тогда, когда во времена Гаусса он считался вторым математиком в Европе. Его преемнику Ришело принадлежит заслуга открытия гения Карла Вейерштрасса в работах неизвестного учителя гимназии. Он убедил университет присудить Вейерштрассу почётную степень и совершил путешествие в маленький городок, где преподавал Вейерштрасс, чтобы лично сообщить ему от этом. — «Мы все нашли нашего руководителя в лице господина Вейерштрасса». Разносторонний Франц Нейман организовал в Кёнигсберге первый институт теоретической физики при германском университете и ввёл семинарскую форму занятий.
Когда осенью 1880 года Гильберт поступил в университет, Вейерштрасс был самым выдающимся математиком в Германии; Якоби и великодушный Ришело уже умерли; однако Франца Неймана, которому было суждено прожить почти до ста лет, ещё можно было увидеть на университетских собраниях, иногда он даже читал лекции. Каждый студент быстро узнавал историю о том, как одна большая академия пыталась установить правила для оценки научных заслуг и Нейман — многие открытия которого никогда не были опубликованы — сказал на это: «Открытие новой истины само является величайшим счастьем; признание почти ничего не может добавить к этому».
Гильберт почувствовал себя в университете настолько же свободным, насколько стеснённым он себя чувствовал в гимназии. Преподаватели факультета сами выбирали предметы, которым они хотели учить, а студенты выбирали те предметы, которые они хотели изучать. Не было никаких особых требований, минимальных количеств баллов, перекличек, никаких экзаменов до тех пор, пока не наступала пора получать степень. Естественно, что на такую неожиданную свободу многие реагировали тем, что проводили первые университетские годы в традиционных занятиях братских студенческих организаций — попойках и дуэлях. Однако для 18-летнего Гильберта университет представлял нечто более привлекательное — долгожданную свободу сконцентрироваться на математике.
Никаких сомнений по поводу своих будущих занятий у Гильберта не было. Вопреки желаниям отца он записался не на юридический, а на математический курс, относившийся в то время к философскому факультету.
Свои занятия он начинал в то время, когда Вейерштрасс и другие придали строгую форму обильным открытиям математики первой половины столетия. Царила атмосфера общего самовосхваления. Чувствовалось, что математика достигла наконец-то уровня логической строгости, который не нужно и даже невозможно будет превзойти. Однако в это же время некий профессор из Галле по имени Георг Кантор разрабатывал оригинальную теорию множеств, в которой бесконечность рассматривалась с новой и трудно приемлемой точки зрения. Согласно традиционному понятию бесконечность представляла собой нечто «неограниченно увеличивающееся». В теории же Кантора она представляла совсем другое — не увеличивающееся, а «математически зафиксированное числами в определенной форме завершенной бесконечности». К этому понятию «завершенной бесконечности» Кантор был вынужден прийти (как он позже писал) «под давлением логики, почти против своей собственной воли, ибо оно противоречило традициям, которые я ценил». В следующем десятилетии оно должно было стать предметом наиболее острых и волнующих споров среди математиков.