Академия назначила комитет в составе Юлиуса Кёнига, Густава Радоша, Гастона Дарбу и Феликса Клейна. Ему было поручено назвать лауреата; однако ещё до заседаний комитета любому математику в мире было ясно, что придётся выбирать только из двух людей. Окончательное решение было единогласным. Премия Бояи должна была быть вручена Анри Пуанкаре, чья математическая карьера началась в 1879 году, в то время, когда Гильберт был ещё учеником гимназии. Тем не менее также единогласно комитет решил, что в знак большого уважения к Давиду Гильберту в отчёте о своём выборе, представленном Академии, его математическая работа будет оценена наравне с работой Пуанкаре.
«Не золото, а почёт», — передавал Гильберту из Будапешта свои сожаления Клейн.
Позже, вернувшись в Гёттинген, Клейн объяснил Блюменталю, что решающим соображением, из-за которого премия досталась Пуанкаре, было то, что французский математик затронул своими достижениями «всю орбиту математической науки».
«Но Гильберт ещё охватит столь же обширную область, как и Пуанкаре!» — предрекал Клейн.
Это было благоприятным временем для пророчества. Гильберт создавал теперь то, чему суждено было стать венцом его занятий анализом — теорию бесконечно многих переменных, ставшую широко известной как теория «гильбертова пространства».
Обобщение алгебраической теории квадратичных форм от двух и трёх переменных на случай любого конечного числа переменных было популярным среди алгебраистов прошлого века; так как пара чисел представляет точку на плоскости, а тройка — в трёхмерном пространстве, то при увеличении числа переменных они сочли удобным перейти в «пространства» более высокой размерности. Как однажды заметил Э. Т. Белл, такое обобщение «почти тривиально для любого компетентного алгебраиста». Однако переход к бесконечному числу переменных требует уже рассмотрения вопросов сходимости, а эта аналитическая проблема «никому не представляется тривиальной». Следующее обобщение состоит в том, что можно, например, рассматривать пространство, точками которого являются непрерывные функции.
Из-за своей крайней общности проблема, которой он теперь занимался, казалась почти недоступной даже для Гильберта. Но он смело принялся за неё.
«Если мы не оробеем под влиянием таких соображений, то мы окажемся в положении Зигфрида, перед которым отступил огонь; манящей же наградой послужит прекрасное вознаграждение — единый методологический подход к алгебре и анализу!»
В удобном и ярком пространственном представлении многие аналитические соотношения могут быть выражены в знакомых терминах; кроме того, в геометрической формулировке бoльшая часть сложных и непонятных на аналитическом языке вещей становится интуитивно почти очевидной. Благодаря этому теория гильбертовых пространств — первоначально названная Гильбертом по техническим причинам «Спектральной теорией» — предлагала чрезвычайно соблазнительный язык для простого и непосредственного выражения очень абстрактных результатов. Хотя из неё следовали многие его собственные результаты и методы, причём более простым способом, не в этом заключалось её главное значение.
«Важнее всего, — писал позже Курант, — является упорядочивающее и проясняющее действие такой общей теории функций на всю методологию и идейное развитие аналитических исследований».
Одновременно с развитием этой очень абстрактной и сложной математической теории Гильберт учил математическому анализу студентов первого курса.
Его курс анализа 1906 года, хотя и обычный с точки зрения его педагогической техники на этом уровне, всё же отличался кое-чем от предыдущих и последующих курсов. Объяснялось это тем, что он читался в период большого лыжного сезона. Под влиянием Рунге, который просто не мог не быть первым спортсменом факультета, ибо его мать была англичанкой, Гильберт и некоторые из более молодых преподавателей решили учиться кататься на лыжах. Необходимые принадлежности были заказаны в Норвегии, так как ничего подобного в Германии ещё не выпускалось. Занятия, которыми руководил Рунге, происходили на небольшом склоне, чуть ниже популярной гостиницы Der Rohns.
«Да, ты знаешь, это очень приятно, но очень трудно», — признался Гильберт Минковскому на еженедельном собрании Математического клуба.
«Сегодня днём я совершенно неожиданно, совсем не подозревая этого, очутился в канаве. Обе мои лыжи повисли в воздухе, в то время как я лежал на спине. Одна из них соскочила и покатилась под гору. В результате мне пришлось снять вторую лыжу и вместе с ней спускаться по глубокому снегу. Ты знаешь, это не так просто».