О недавней работе по теории интегральных уравнений: «Это открытие господина Фредгольма, безусловно, одно из самых замечательных открытий нашего времени... Господину Гильберту принадлежат важные усовершенствования..., особенно привлекательными чертами которых являются простота, надёжность и общность».
Доклад Пуанкаре о премии Бояи появился в 1911 году в Acta Mathematica. В то время ещё никто не подозревал, что в нём подводился итог всему тому, что внёс Гильберт в конструктивную математику. На следующий год Гильберт, которому уже исполнилось пятьдесят лет, стал в глазах своих коллег физиком.
Недавняя работа по интегральным уравнениям (монография по которой была опубликована в 1912 году) привела его в пограничную область между математикой и физикой. В своей книге он рассмотрел с одной общей точки зрения различные теории. В результате ему удалось добиться значительно большей абстрактности, унификации, ясности и строгости, чем это было до него. Однако, с точки зрения физика, на практике это давало немногое. В большинстве случаев продолжали пользоваться старыми методами дифференциальных уравнений. Тем не менее во введении к своей книге по интегральным уравнениям Гильберт выразил радость но поводу существования раздела физики, где физические понятия естественным образом вели к интегральным уравнениям, которые представляли единственный аппарат для теоретической обработки экспериментальных данных. Этой областью была кинетическая теория газов, и опубликование весной 1912 года работы по основаниям этой теории отразило тот факт, что математик Гильберт обратил теперь своё внимание на физику.
Оглядываясь в прошлое, он представлял себе, что начало современной эры в физике пришлось на его доцентские дни, когда Герц установил существование электромагнитных волн, предсказанных Максвеллом. Затем, быстро сменяя друг друга, последовали открытия икс-лучей Рентгеном, радиоактивности супругами Кюри, электронов Дж. Дж. Томсоном. Макс Планк выдвинул квантовую теорию. Эйнштейн провозгласил специальную теорию относительности. За несколько лет произошло так много открытий, что их хватило бы на несколько веков. «И ни одно из них не уступало великолепию достижений прошлого», — ликовал Гильберт.
Однако, как математика, его беспокоило отсутствие порядка в триумфальных успехах физиков. И в этом он был не одинок. Вальтер Литцман, один из его бывших студентов, вспоминал: «Какое беспокойство охватывало нас, математиков, на лекциях по теоретической физике, когда то один, то другой принцип выдвигался перед нами без доказательства, после чего из него выводились различного сорта утверждения и следствия. Мы ощущали настойчивую потребность исследовать, совместны ли эти различные принципы друг с другом и в каких отношениях они находятся между собой».
Аналогичные вопросы изучались Гильбертом в связи с его работой по аксиоматике геометрии — вопросы полноты, независимости и непротиворечивости аксиом. Теперь ему казалось, что настало время для проекта, предложенного им в Париже в качестве шестой проблемы двадцатого столетия, — аксиоматизации физики и других наук, тесно связанных с математикой. Некоторые из фундаментальных физических явлений должны были быть приняты в качестве аксиом, из которых все остальные наблюдаемые явления можно было бы выводить на основе строгой математической дедукции, подобно тому как чётко и удовлетворительно выводились теоремы Евклида из его аксиом. Однако такой проект требовал математика для своего выполнения.
«Физика, — объявил Гильберт, — слишком сложна для физиков».
Хотя это замечание казалось довольно высокомерным, физики понимали, что он этим хотел сказать.
«Хотя это была только шутка, — сказал позже один Нобелевский лауреат, — таким образом он выразил нечто совершенно правильное: уважение к трудностям задач, поставленных в этой области чистого разума, которые могли быть оценены только тем, кто сам затрачивал на их преодоление все свои интеллектуальные способности».
В Париже Гильберт специально упомянул, что, по его мнению, исследования аксиом теории вероятностей должны сочетаться со строгим и обстоятельным развитием метода средних значений в математической физике и, в частности, в кинетической теории газов. Именно здесь он начал претворять в жизнь новые планы.
В основе кинетической теории газов лежит тот принцип, что в силу полной беспорядочности движения молекул в газе оно должно описываться статистически, а все эффекты, связанные с давлением, плотностью, температурой, должны предсказываться на основе средних движений. Однако эта теория не развивалась единым образом, её различные аспекты разрабатывались отдельно и без всякой связи между собой. Применяя аксиоматический метод и свою теорию интегральных уравнений, Гильберт сумел создать прекрасную по простоте общую систему и таким образом сделать из своей теории удобный и доступный математический аппарат. («Интересно заметить, — писал много лет спустя фон Карман, — что эта работа, созданная шестьдесят лет назад, в то время, когда космический полёт казался фантастической мечтой, является в настоящее время основой большинства наших инженерных расчётов о поведении искусственных спутников».) Значение его исследований в этой области состоит не столько в получении уже известных физических теорем, сколько в выявлении общей точки зрения на их структуру, условия и возможные области применения.