Именно в ту осень, 18 ноября 1919 года, умер Гурвиц. Со студенческих времен Гильберт не скрывал своего восхищения перед Гурвицем и его математическими способностями. Однажды в разговоре с Островским он упомянул, что, по его мнению, существует два сорта математиков — те, кто энергично бился и решал стоящие задачи, и те, кто этого не делал.
«Я был удивлён, какое твёрдое на этот счёт у него было мнение, сколь немногих он считал действительно хорошими математиками, а до остальных ему просто не было дела. Я был также поражён тем, что он решился сказать такую вещь мне. Это было почти единственным случаем, когда он не вёл себя, как «мудрец». Высказывая такие утверждения вслух, он заставлял других задавать себе вопрос, к какой группе он их относил. Однако не вызывало никаких сомнений, к какой группе он относил Гурвица. В тот раз он упомянул одну работу Гурвица, которая, сказал он, полностью поглотила его собственную работу. Никто не сказал бы этого о работе Гильберта. Но он это сказал».
Во второй раз Гильберту пришлось выступить перед Гёттингенским научным обществом с речью, посвящённой памяти своего покойного друга молодости. За восемь с половиной лет он и Гурвиц на своих ежедневных прогулках в Кёнигсберге исследовали «каждый уголок» математики. Гурвиц, рассказывал он теперь своим коллегам, был «гармонически развитой и философски настроенной личностью, он был всегда готов признать и оценить достижения других, и для него каждый научный результат являлся источником искренней радости». Гильберт успокаивал себя тем, что, потеряв перед смертью сознание, Гурвиц был избавлен от необходимости прощаться со своей семьей. Это было его последним желанием.
После смерти Гурвица разнёсся слух, что Гильберту была предложена его кафедра в Цюрихе. Группа студентов направилась к нему с поэтической петицией, призывавшей его остаться в Гёттингене: «Hilbert, gehen Sie nicht nach Zurich/Leben da ist auch recht «schwurich». (Гильберт, не уезжайте в Цюрих, жизнь там также тяжела.) Однако из Швейцарии не последовало никаких предложений.
Относительная значимость различных научных интересов Гильберта в этот период видна по его ассистентам, Бернайсу — по математике и Адольфу Крацеру — по физике. Раз в неделю перед лекциями оба они приходили в дом Гильберта. В то время как его интересы начали перемещаться из физики обратно в математику, начали меняться и роли ассистентов.
«Летом 1920 года он занимался в основном проблемами атомной механики, — говорит Крацер. — Его целью всё ещё была аксиоматизация. Вопросы задавались мне. Казалось, что говорил в основном я, а Бернайс слушал. Однако к зиме 1920–1921 года его интересы начали меняться. Теперь его главной целью была формализация оснований математики на логической основе, и Бернайс говорил, в то время как я слушал».
Хотя в своих исследованиях Гильберт двигался к наиболее абстрактному и формальному пониманию математики, в это время он прочитал серию лекций по геометрии, основанных на абсолютно наглядной интуитивной точке зрения. Они были явно предназначены для популяризации математики среди молодых людей, вернувшихся в университет после войны.
«Ведь это правда, — признавал он, — что математика, вообще говоря, не является популярным предметом»,
Причину отсутствия её популярности он видел «в разделяемом всеми предрассудке, что математика представляет... дальнейшее развитие прекрасного искусства арифметики, жонглирования числами...». Он думал, что ему удастся сделать более увлекательным этот предмет, который он так страстно любил, заставив своих слушателей «проникнуть в суть математики, не взваливая на себя тяжесть утомительного процесса обучения». Взамен он предлагал «неторопливую прогулку в большом саду геометрии, где каждый сможет собрать себе букет по вкусу».
В следующее лето Гильберт прочёл курс лекций по теории относительности, входивший в специальный цикл, рассчитанный на все факультеты университета. В них он продемонстрировал, по словам Борна, «что только тот, для кого логическая структура трудной и сложной теории была абсолютно ясной, сможет успешно изложить её широкой аудитории».
Ему нравились эти экскурсы в популяризацию, и в течение двадцатых годов он часто выступал с такими лекциями на различные темы.
Однако теперь Гильберта всё более тревожил тот рост влияния, которое оказывал на молодых математиков подход Брауэра к математике. Для Гильберта программа интуиционизма представляла абсолютно определённую и реальную угрозу математике. Многие из теорем классической математики можно было установить и интуиционистскими методами, более сложным и длинным путём, чем обычно. От многого же, включая теоремы существования, основную часть анализа, канторовскую теорию бесконечных множеств, пришлось бы отказаться.