«Экзистенциальные» идеи проникали в мышление Гильберта не только в математике, но и в повседневной жизни. Это иллюстрируется одним случаем, свидетелем которого был в своё время Хельмут Хассе. Общество германских учёных и врачей собралось на свою первую послевоенную встречу в Лейпциге. По вечерам в Burgkeller было много вопросов типа «Как там профессор К. из А., он ещё жив?». 24-летний Хассе сидел вместе с другими молодыми математиками за столиком, стоявшим неподалеку от стола Гильберта и его компании.
«Я слышал, как он задал в точности такой же вопрос одному венгерскому математику о другом венгерском математике. Тот начал отвечать. «Да, он преподаёт в — и занимается теорией —, несколько лет назад он женился, у него трое детей, старшему...» Однако после первых же слов Гильберт начал перебивать: «Да, но...» Когда, наконец, ему удалось остановить поток информации, он продолжил: «Да, но всё это меня не интересует. Я только спрашивал: Существует, ли он ещё?».
Согласно Брауэру, утверждение, что некоторый объект, обладающий данным свойством, существует, означает, что известен метод, позволяющий, по крайней мере в принципе, найти или построить такой объект; только в этом случае можно считать доказанным существование объекта.
Тем самым Брауэр не принял бы найденного молодым Гильбертом доказательства существования конечного базиса системы инвариантов, не принял бы также и многое другое.
Естественно, что Гильберт был с этим не согласен.
«... Доказательства чистого существования были самыми важными вехами в историческом развитии нашей науки», — утверждал он.
То, что Вейль склонялся к точке зрения Брауэра, очень огорчало Гильберта.
В 1919 году Вейль опубликовал некоторые из своих собственных «давно наболевших» мыслей об основаниях математики. Затем в 1920 году он прочитал несколько лекций о программе Брауэра. На одной из них он заявил: «Я отказываюсь от своих собственных попыток и присоединяюсь к Брауэру». Его никогда не называли «брауэровским бульдогом», но он мог бы им быть. В 1921 году Вейль продолжал использовать свои литературные способности для ещё большей популяризации идей Брауэра.
Для Гильберта это было уже слишком.
На одном собрании в Гамбурге в 1922 году он во весь голос заявил о защите математики.
Положение дел, вызванное открытием парадоксов теории множеств, было недопустимым, согласился он. Однако «заслуженные математики высокого класса, Вейль и Брауэр, ищут решение проблемы на ложных путях».
Вейль услышал в голосе своего старого учителя «гнев и решимость».
«То, что делают Вейль и Брауэр, есть не что иное, как возрождение идей Кронекера! Они стремятся спасти математику, выбрасывая за борт всё. что причиняет беспокойство... Они крошат и рубят науку. Если бы мы приняли такую реформу, которую они предлагают, то подверглись бы риску потерять бoльшую часть наших самых ценных сокровищ».
Далее приведён список сокровищ, которые были бы потеряны, если бы была принята программа интуиционизма:
* Общее понятие иррационального числа.
* Функция. «Даже теоретико-числовая функция».
* Трансфинитные числа Кантора.
* Теорема о существовании наименьшего числа в бесконечном множестве целых чисел.
* Логический принцип исключённого третьего.
Гильберт отказывался причинять такое «увечье» математике. Ему казалось, что он видел путь, на котором он смог бы восстановить элементарную математическую объективность, к которой стремились Брауэр и Вейль, не теряя при этом ничего из сокровищ, приносимых в жертву их программе. Это была, по существу, та «теория доказательства», набросок которой он дал в 1904 году в Гейдельберге. В характерном для него стиле, этот подход был прямой атакой проблемы. Как вынужден был позже признать сам Вейль, Гильберт показал тогда «совершенно новый подход к вопросам оснований и понятию истины в математике».
Интуиционизм выступал против того, что «бoльшая часть математики идёт дальше тех утверждений, которые претендуют на истинный смысл». Гильберт ответил на это возражение тем, что, по словам Вейля, избавился совсем от смысла.
Он предложил превратить математику в формализованную систему, объекты которой — математические теоремы и их доказательства — выражаются на языке символической логики в виде предложений, имеющих только логическую, а не смысловую структуру. Эти объекты должны были быть выбраны так, чтобы адекватно представлять данную математическую теорию, т.е. охватывать совокупность всех её теорем. Непротиворечивость этой формальной системы — т.е. математики — будет устанавливаться с помощью методов, которые Гильберт называл финитными. Под «финитностью» понималось то, что «рассматриваемые рассуждения, утверждения или определения должны находиться в рамках непосредственного обращения с объектом, отличаться явной практичностью используемых методов и, в соответствии с этим, их можно было бы эффективно контролировать».