Отдельный элементарный акт химического превращения, описываемый стехиометрическим равенством, зависит только от трех условий. От взаимной близости реагирующих частиц. От температуры (вернее, от их энергии). От присутствия и вида катализатора. Но химическое превращение — в пробирке ли, в заводском ли аппарате — сумма огромного количества одновременных элементарных актов. И трудно поверить, чтобы во всех случаях свидание реагирующих молекул или атомов протекало в совершенно одинаковых условиях.
В каком-то месте смесь может оказаться неоднородной. Где-то не будет близкого контакта с катализатором. Да и кинетическая энергия у одной молекулы иная, чем у другой. Более того: она изменяется от взаимных тумаков, которыми мимоходом награждают друг друга молекулы. Ведь они непрерывно снуют туда-сюда в полном беспорядке. При этом либо теряют часть своей энергии, либо приобретают дополнительную. И чем крупнее масштабы процесса, тем, очевидно, больше всяких случайностей в кишащей толпе частиц.
Загляните в холодильник. Температура в нем около нуля. Давление нормальное. Пусть емкость холодильника 224 литра. Это значит, что он рассчитан примерно на 10 грамм-молекул газа. Удесятерите число Авогадро (6·1023), и вы узнаете, сколько газовых частиц вмещает при нуле градусов ваш холодильник, когда он пуст. Чтобы точно описать такую систему, вам пришлось бы составить 60·1023 уравнений. В каждом — миллиарды миллиардов членов. И чтобы рассчитать, как двигается каждая отдельная молекула в течение секунды, потребовались бы миллиарды тысячелетий! Между тем заводской реактор в десятки раз вместительней вашего холодильника. Быть может, именно это обстоятельство делает неприменимыми к большому химическому реактору выводы, справедливые для маленькой пробирки?
Как ни странно, нет. Вот наперсток. Он вмещает в 100 тысяч раз меньше молекул, чем ваш холодильник. И число уравнений окажется во столько же раз меньше. Масштаб такого соотношения 300 лет и одни сутки. Огромная разница! Между тем решать систему из 60 миллиардов миллиардов уравнений (величина 60·1023, уменьшенная в 100 тысяч раз) вам пришлось бы тоже не менее миллиарда тысячелетий. Так что переход от пробирки к аппарату ненамного усложнил бы эту и без того непосильную задачу.
Однако математики ухитрились сделать так, что чем больше частиц, тем точнее описание системы! И это не парадокс. Ученых выручает статистика. Именно она избавила их от непомерной платы за точность, которую требовали законы классической механики.
Да, операции с большими числами подчиняются некоторым своеобразным закономерностям, теряющим силу для чисел малых.
Пожалуй, можно ограничиться одним, но достаточно поучительным примером.
Заболевание пассажира во время рейса — случай из ряда вон выходящий. Любой из нас изумится, если беда стряслась именно в его присутствии. Но для стороннего наблюдателя, скажем диспетчера аэропорта, имеющего дело с сотнями самолетов, а в каждом по сотне пассажиров, это событие не будет столь неожиданным. Он уже готов к тому, чтобы, скажем, примерно на каждую тысячу рейсов (сто тысяч пассажиров) ожидать какого-нибудь ЧП. Недаром любой аэровокзал имеет медпункт — «на всякий случай». Но даже бывалый врач большого аэродрома будет удивлен, если вдруг в один день сразу три таких случая, а потом ни одного много лет подряд.
И хотя так вполне может быть, вероятность подобного совпадения очень и очень мала. Обычно случайные события распределяются более или менее закономерно. Чем больше отклонение от статистической нормы, тем менее оно вероятно. Кривая таких отклонений напоминает наполеоновскую «треуголку». Но называется она «треуголкой Гаусса» — по имени математика, занимавшегося исследованием вероятностных процессов. Самая верхняя часть «треуголки» — какое-то среднее значение определенного параметра, которым характеризуется наше множество. Скажем, число несчастных случаев, приходящееся на определенное множество пассажиров. Оно наиболее вероятно. Меньшие или большие значения находятся на левом или правом склоне «треуголки». И чем больше отклонение от среднего статистического значения, тем ниже точка на кривой, тем меньше вероятность. Кривая строго описывается математическим уравнением. Это помогает предвидеть случайности и приготовиться к ним.
Так, пожертвовав слишком дорогостоящей, а потому и никчемной, точностью ньютоновской механики, статистика приобрела вероятностную строгость описания — куда более ценную в практических расчетах. Таков, видать, парадокс жертвы: мы всегда жертвуем чем-то дорогим ради чего-то еще более ценного.