Наивысшие научные достижения древних греков были связаны с математикой; их главное исследование по логике вывода было поэтому, естественно, посвящено той форме вывода, с которой мы сталкиваемся в точных науках. Когда в конце средних веков начали развиваться современные естественные науки, построенные на наблюдении и эксперименте, то восстание против аристотелевской логики стало неизбежным, и в частности восстание против аристотелевской теории доказательства, которая ни в коем случае не могла охватить технику доказательства, фактически используемую новой наукой. Так постепенно возникла новая логика вывода, основанная на анализе процедур, используемых в новых естественных науках. Учебники по логике, которыми пользуются сегодня, все еще несут на себе следы этой революции в виде того разграничения, которое они проводят между двумя типами вывода — «дедуктивным» и «индуктивным». И только в конце девятнадцатого столетия историческая мысль достигла стадии развития, сравнимой со стадией, к которой подошли естественные науки к началу семнадцатого. Однако это событие все еще не интересует философов, пишущих учебники по логике.
Главной особенностью вывода в точных науках, особенностью, теоретическое объяснение которой пытались дать греческие логики, формулируя правило силлогизма, является известная логическая обязательность, в силу которой человек, делающий определенное допущение, вынужден, сделав его, делать и другие. Свобода выбора сохраняется за ним в двояком отношении: он не обязан делать начальное допущение (факт, который на языке логики выражается следующим образом: «Исходные посылки в доказательстве сами не доказуемы»), а если он уже сделал его, то у него всегда есть возможность прекратить мыслить, когда он того пожелает. Чего он не может сделать, так это принять исходные посылки, мыслить, основываясь на них, и прийти к заключению, которое не является логически правильным.
В том, что называется «индуктивным» мышлением, нет такой обязательности. Сущность мыслительного процесса здесь состоит в том, что, сопоставив определенные наблюдения и найдя, что они создают закономерную картину, мы экстраполируем последнюю на неопределенное множество других случаев, точно так же, как человек, нанесший несколько точек на миллиметровую бумагу и увидевший, что они образуют параболу, говорит себе: «Точки, нанесенные мною, указывают на то, что форма кривой — парабола», — и экстраполирует параболическую линию в обоих направлениях так далеко, как ему захочется. На языке логики это называется движением от известного к неизвестному или от частного к общему. Этот переход от известного к неизвестному и составляет сущность «индуктивного» мышления, хотя логики, пытавшиеся построить теорию такого мышления, не всегда понимали, что описанная нами экстраполяция никогда не является логически принудительной. Мыслитель, делающий ее, логически свободен совершать и не совершать эту экстраполяцию, он может поступать, как хочет. В закономерной картине явлений, полученной на основе наблюдений, нет ничего такого, что заставляло бы его или кого-нибудь другого экстраполировать данным конкретным образом или экстраполировать вообще.
Эту вполне очевидную истину часто упускают из виду потому, что люди загипнотизированы авторитетом аристотелевской логики и усматривают более близкое сходство между «дедуктивным» и «индуктивным» мышлением, т. е. между точными науками и науками наблюдения и эксперимента, чем оно есть в действительности. В обоих случаях для любого вывода мы имеем некие исходные положения, по традиции называемые посылками, и некое завершающее положение, по традиции называемое заключением, и в обоих случаях посылки «доказывают» заключение. Но в то время как в точных науках это означает, что они подкрепляют заключение или делают его логически обязательным, в науках, построенных на опыте и эксперименте, «доказательство» означает только оправдание заключения посылками, т. е. они дают право любому желающему принять его. Когда говорят, что посылки «доказывают» определенное заключение в индуктивном выводе, то под этим надо понимать, что они несут с собою не обязательство, а только разрешение принять заключение. В этом и состоит подлинный смысл глагола «доказывать» (approuver, probare), но здесь нет необходимости останавливаться на этом.