Выражение для расчета математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности без учета динамических характеристик каналов воздействия измеряемой и влияющих величин имеет вид [10]:
M{Δ2доп} = a2[μ2xμ2ε + σ2xσ2ε(1 + 2p2xε) + μ2xσ2ε + μ2εσ2x + 4μxμεσxσεpxε]. (6)
где pxε — коэффициент корреляции между измеряемой и влияющей величинами.
Здесь и в дальнейшем под обозначением με, будем понимать смещение математического ожидания влияющей величины относительно значения μ0, которое принято при градуировке измерительного преобразователя.
В том случае, когда в сигналах входной и влияющей величин присутствуют гармонические составляющие, определяемые соответственно как:
xh(t) = Cxsin(ωxt),
εh(t) = Cεsin(ωεt).
где Cx и Cε — амплитуды гармонических составляющих соответственно входного и влияющего воздействий; ωx и ωε — их частоты.
Выражение для расчета квадрата мультипликативной дополнительной погрешности с учетом гармонических составляющих коррелированных сигналов измеряемой и влияющей величин имеет вид [5]:
В том случае, когда гармонические составляющие случайных процессов xh(t) и εh(t) коррелированы, т. е. ωx = ωε, выражение (7) усложняется:
где ф — сдвиг фаз между гармоническими составляющими.
При воздействии на измерительный преобразователь n статистически независимых влияющих величин (рис. 1), не коррелированных с входным воздействием, выражение для расчета квадрата мультипликативной дополнительной погрешности имеет вид
где ai — коэффициент влияния i-той влияющей величины.
Рис. 1. Структура модели возникновения дополнительной погрешности при наличии множества влияющих воздействий.
При воздействии на ИП n статистически зависимых влияющих величин, которые коррелированы с входным воздействием, выражение (9) существенно усложняется и принимает вид:
Во всех предыдущих расчетах предполагалось, что тракты прохождения измеряемой и влияющей величин являются безинерционными, или, искажениями формы сигналов за счет инерционности можно пренебречь. В том случае, когда в каналах присутствует инерционность (рис. 2), расчет математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности осуществляется по иной схеме.
Рис. 2. Структура модели образования динамической и мультипликативной дополнительной погрешностей при учете динамических свойств каналов сигналов входного и влияющего воздействий
При наличии в измерительном канале инерционности в результат измерения помимо дополнительной погрешности вносится еще и динамическая погрешность. Существующие методы расчета позволяют вычислить отдельно каждую составляющую, а затем, произвести геометрическое суммирование. При этом, как правило, предполагается, что эти составляющие статистически независимы. В действительности, это допущение не совсем корректно, т. к. не учитывает наличие корреляционной связи между составляющими суммарной погрешности, возникающей при прохождении измерительного сигнала и сигнала влияющей величины через тракт ИП.
Суммарная погрешность ИП, будет определяться из соотношения:
Δ(t) = x(t) — y1(t) = x(t) — [a∙y(t)e(t) + y(t)].
Определим квадрат суммарной погрешности:
Δ2(t) = [x(t) — y(t) — ay(t)e(t)]2 = [x(t) — y(t)]2 + a2y2(t)e2(t) — 2ay(t)[x(t) — y(t)].
В выражении (11) присутствуют 3 составляющие. Первая определяет квадрат динамической погрешности Δ2дин; вторая — квадрат дополнительной погрешности Δ2доп; третья — член, обусловлен наличием корреляционной связи между дополнительной и динамической погрешностями.
Рассмотрим, в качестве примера, случай, когда случайный процесс на входе измерительного канала имеет спектральную плотность мощности вида:
Sx(ω) = 2σ2xα/π(α2 + ω2),
где α — параметр функции СПМ, а передаточная функция каналов воздействия сигналов ИП описываются инерционным звеном первого порядка:
W(jω) = 1/(1 + jωT))
где Т — постоянная времени.
Дисперсии измеряемой и влияющей величин соответственно равны [12]:
σ2y = σ2x/(1 + αT1),
σ2e = σ2ε/(1 + αT2),
Примем так же, как наиболее характерный случай, что корреляционная матрица входного воздействия и влияющей величины определена как:
где ах, аε и ахε, аεх, с = σxσεpxε — параметры соответственно корреляционных и взаимных корреляционных функций измеряемого и влияющего воздействий.
Математическое ожидание квадрата динамической погрешности равно:
M{Δ2дин} = σxВ1/(1 + B1)
где В1 = аxТ1.
Математическое ожидание квадрата мультипликативной дополнительной погрешности:
где В2 = аεТ2.