Язык логики, которая допускает логические операции в области символьных выражений языка, строится следующим образом. К языку сентенциальной логики добавляем операторы истинности и ложности. Расширяем применение понятия истинности и ложности на класс выражений языка, которые определяются индуктивно. Такое расширения сферы применимости понятий истинности и ложности на универсум символьных выражений языка не ведет к трудностям или неясностям, так как все выражения, которые не являются предложениями (для любого определения предложения), заведомо ни истинны, ни ложны. Язык получаемой логики FSL4 (см. ее формулировку в [4]) двухуровневый, подобно языку логики Бочвара.
В ней доказывается тетралемма истинности и ложности, говорящая, что каждое символьное выражение языка либо истинно и неложно, либо ложно и неистинно, либо истинно и ложно, либо ни истинно, ни ложно.
Логика FSL4 для искусственного интеллекта и компьютерных рассуждений, предназначенная обрабатывать, в дополнение к двузначным высказываниям, высказывания, содержащие противоречивую или неполную информацию (см. также [10]) имеет четырехзначную интерпретацию со следующими истинностными значениями:
Т - «строгая истинность», то есть «истинность и неложносгь»,
F - «строгая ложность», то есть «ложность и неисгинность»,
В - «противоречивость», то есть «истинность и ложность»,
N - «индифферентность», то есть «ни истинность, ни ложность».
Эти значения близки по смыслу значениям четырехзначной логики Белнапа, предложенной им в статье «Как нужно рассуждать компьютеру» [1]:
Т - «го юр ИТ только Истину»,
F - «гоюрит только Ложь»,
В - «говорит и Истину и Ложь»,
N - «не го юр ит ни Истины, ни Лжи».
Отметим, что логика FSL4 является обогащением и обобщением логики Белнапа (см. [4]) и в ее языке можно формализовать ряд дополнительных соотношений между высказываниями, которые были содержательно приняты Н.Белнапом, но их нельзя формально выразить в языке логики Белнапа.
Данн получил четыре значения, рассматривая подмножества двухэлементного множества {Т}, {F}, {T,F}, {}. Он также приводит в [9] пример тетралеммы (чатушкоти, fourcomer) индийского логика Санджая (6 век до нашей эры):
a. S есть Р.
b. S есть не-Р.
c. S есть Р и не-Р.
d. S есть ни Р, ни не-Р.
Аналогичные конструкции использовали в своих рассуждениях буддийские философы.
Значения истинности, подобные вышеприведенным, предложил фон Вригт в [3] для одной из логик истины: «Истинно и ложно» («true and false»), «истинно, но не ложно» («true but not false», «univocally true»), «ложно, но не истинно» («false but not true», «univocally false»), «ни истинно, ни ложно» («neither true nor false»), которые обозначаются им как «1», «+», «-», «О» соответственно.
Для логики FSL4 можно построить и другие семантики. Н.Белнап предложил автору рассмотреть для интерпретации логики FL4 бирешетки, введенные Фиттингом. Также представляет интерес построить семантику в собственном смысле слова, исходя из идеи Фреге о том, что предложения являются именами денотатов, являющихся абстрактными предметами «истина» и «ложь». При этом все истинные предложения обозначают истинностное значение истину, а все ложные предложения - истинностное значение ложь. Точка зрения Фреге, согласно Черчу [8], может быть передана утверждением, что ситуация указывает на существование таких двух предметов, как истина и ложь (или, по Н.Белнапу [1], онтологических значений «истина» и «ложь»).
Можно показать, что достаточно принять существование только одного абстрактного предмета «истина», чтобы построить необходимую для наших задач семантику. Положение предыдущего абзаца модифицируется следующим образом: все истинные предложения обозначают истину, а все ложные предложения не обозначают истину.
Говоря другими словами, нет необходимости в допущении существования такого абстрактного предмета как «ложь». Поэтому, будем исходить из того, что истина существует, а ложь не существует.
В классическом случае, если предложение А обозначает истину, то ~А не обозначает истину или, если предложение ~В обозначает истину, то В не обозначает истину.
В неклассическом случае, соответствующем четырехзначной логике Белнапа и логике FSL4, предложению А поставим в соответствие упорядоченную пару предложений < А, ~А >, каждое из которых независимо одно от другого обозначает, либо не обозначает истину. Тем самым для различных пар предложений имеем четыре возможных варианта денотации:
< A], ~Ai > Ai обозначает истину, a ~Ai не обозначает истину.
< А2, ~А2 > А2 не обозначает истину, а ~А2 обозначает истину.
< Аз, ~Аз > Аз обозначает истину и ~А3 обозначает истину.