Видимо, первым был известный ученик Гильберта Герман Вейль (1885-1955), высказавшийся, что Гёдель нанес планам Гильберта решения Центральной проблемы «сокрушительный удар», от которого математика «не оправилась до сих пор» [3, с. 339-340]. Эта точка зрения Г. Вейля ничем не подкреплена, но тем не менее получила широкую известность и стала господствующей в научном мире (см., например, [4, 5]).
Как хорошо известно, на формульном аксиоматическом пути Готлоба Фреге (1848-1920) Центральная проблема Гильберта не решается: неограниченное теоретико-множественное свёртывание Георга Кантора (1845-1918), представленное аксиоматически в виде одной или нескольких формульных схем (задающих собственные аксиомы теории), вместе с соответствующей аксиоматически заданной логикой предикатов первого порядка, ведет к противоречию.
Наиболее важным и простым по изложению является широко известный парадокс Бертрана Рассела (1872-1970), найденный в 1902 году в опубликованной системе Г. Фреге.
Из общих соображений очевидно, что возможны различные способы преодоления противоречий. Один - наложить ограничения на аксиомы свёртывания (этот способ почему- то без объяснений считается единственным!). Другой, излагаемый ниже в данной работе, связан с двухъярусными секвенциальными системами, порождаемыми программой Колмогорова, охватывающей все основания КМ в её целостности.
Различные же ограничения на схемы аксиом свёртывания привели к построению известных аксиоматических теорий первого порядка, выражающих на пути Фреге (о путях Фреге и Колмогорова см. в [6]) неполным (по Гёделю) образом определенные разделы современной математики. Само разбиение математики на разделы (математический анализ, алгебра, теория вероятностей и т.д.) обусловлено только различными ограничениями на аксиомы свёртывания. Тем самым современная математика (с её разбиением на различные разделы) отличается от целостной классической теоретико-множественной математики.
На фрегевском пути все постулаты известных теорий (1-го порядка), естественно, выбирались и выбираются так, чтобы эти теории были непротиворечивыми. Но доказать непротиворечивость каждой известной теории G - трудная проблема Здесь используются термины «доказуемая непротиворечивость (теории) S» и «непротиворечивость S «; первый -точный, а второй - нет. Если в S выведено противоречие, то S перестает считаться «известной» и далее не исследуется.
К числу известных аксиоматических теорий относятся формульные исчисления гильбертовского типа, например, арифметики FA Пеано, теории множеств ZF Цермело-Френкеля, теории множеств NBG Ней-мана-Бернайса-Гёделя, теории множеств NF Куайна. Для большинства известных теорий доказуемая непротиворечивость на фрегевском пути пока не найдена и не опровергнута, а для таких, как исчисление
FA арифметики Пеано, доказательства непротиворечивости весьма громоздки, используют теоретико-множественную индукцию.
Только в 2004 году в [6] впервые опубликовано негёделевское построение теорий первого порядка, дано доказательство непротиворечивости всех известных формульных аксиоматических теорий с соответствующим историко-методологическим обоснованием. Предварительно в [6] каждая такая теория К перестраивается теоретико-множественно по Колмогорову и для неё доказывается теорема 1 о редукции в логику высказываний. (См. публикацию [7] 1999 г. и замечания к ней в [6, с. 31-32]).
Доказательство непротиворечивости в [6, 7] известной теории К осуществлено в два этапа хорошо знакомыми комбинаторными средствами: на 1-ом этапе доказана теорема 1 (о редукции К в логику высказываний); на 2-ом этапе доказана теорема 2 (о непротиворечивости К).
Доказательство теоремы 2 для К полностью зависит от теоремы 1 для К и не может быть перенесено на каждую теорию, например, на теории с правилом МР* (см. [6, 7]) - в частности, не может быть получена нелепость: «доказательство непротиворечивости противоречивой теории».
Предыдущий абзац очевидно следует из двух этапов доказательства непротиворечивости известной теории К и поэтому в силу его очевидности часто не указывается, например, в [6, 7], что, к сожалению, иногда ведет к трудностям. Дело в том, что на колмогоровском пути теоретико-множественной общности некоторые факты доказываются весьма просто и неожиданно понятно!
Подчеркнем значение леммы 1, названной в [6] критерием непротиворечивости известной (но не любой!) теории К. Лемма 1 впервые сформулирована в [6, 7] и утверждает (доказывает), что все аксиомы теории К, по их виду, не являются ни W-формулами (см. в [6, 7] определение 1), ни Выделенными формулами (см. определение 2).