Доказательство леммы 1 проведено в [6, 7] комбинаторными средствами сравнения слов в алфавитах.
На основе леммы 1 получено в [6, 7] доказательство главной теоремы 1 о редукции множества М всех выводов теории К в логику высказываний.
Следствием теоремы 1 является в [6, 7] теорема 2 о непротиворечивости теории К, доказываемая методом от противного.
Критерий непротиворечивости (точнее, доказательства непротиворечивости) известных аксиоматических теорий первого порядка в виде леммы 1 найден (получен) на колмогоровском пути теоретикомножественной общности в основаниях математики, когда выбор всех аксиом и правил вывода каждой теории К осуществлен классически по Э. Мендельсону.
Как работает этот критерий, фактически показано в [6], например, на стр. 13 на различных, но эквивалентных исчислениях арифметики.
II. Ещё раз о теоремах Гёделя
В 1931 году Курт Гёдель (1906-1978) на фрегевском пути опубликовал теоремы о неполноте многих известных теорий. Эти теоремы полностью обоснованы (доказаны). Никаких сомнений, казалось, нет. Более того, у многих сомневающихся находились конкретные ошибки.
Я был потрясен, когда узнал, что А.Н. Колмогоров относит себя к сомневающимся в теоремах Гёделя о неполноте. Нет, он не оспаривал результаты Гёделя, относящиеся к конкретным исследуемым теориям, но он не верил в распространение этих теорем без доказательства на все известные теории при любых их построениях. Он так и говорил мне: «А где доказательство?»
Действительно, нет доказательства, что теоремы Гёделя распространяются всеобъемлющим образом на все основания наук. А без доказательства Колмогоров не мог признать истинным обобщение этих теорем на все теории (при любых их построениях).
Надо сказать, что и сам Гёдель выражал некоторое сомнение в величии и универсальности своих результатов о неполноте, особенно следствий из них; см., например, [5].
Биограф Гёделя Г. Крайзель пишет, что «вопреки усилиям... представить результаты Гёделя как сенсацию, эти результаты не оказали революционизирующего влияния ни на представление большинства работающих математиков о своей науке, ни тем более на их практическую деятельность. Во всяком случае, их влияние намного меньше, чем влияние внутреннего развития самой математики.» [5, вып. 2 (260), с. 175]; подчеркнуто мною - А.С.К.
А как мы преподаем основания не только математики, но и всех наук, особенно теоретических? Принято почти в самом начале соответствующих курсов или семинаров ссылаться на теоремы Гёделя о неполноте (часто даже не формулируя их) как на ограничительные -запрещающие многое сделать в рассматриваемой области знания (как будто эти запреты в них доказаны или доказуемо следуют из них).
Взгляды Колмогорова на теоремы Гёделя о неполноте перевернули всю мою жизнь, особенно учитывая догматическую веру в эти теоремы моих ближайших родственников, коллег, учеников и подавляющего большинства математиков и философов.
В нашей педагогической практике такая догматическая вера в теоремы Гёделя и следствия из них по существу навязывается всем учащимся; доказательства, весьма громоздкие и сложные, разбираются лишь на узкоспециальных занятиях с небольшим числом заинтересованных студентов, да и в основном, как я сейчас глубоко убежден, занятия эти проводятся фактически с целью не разобрать все возможные случаи (что малореально), а только усилить веру в результаты Гёделя и их обобщения.
Высказывания Колмогорова относительно теорем Гёделя были мало известны. Под руководством Колмогорова я работал с января 1980 по октябрь 1987 года, когда Андрей Николаевич заведовал кафедрой математической логики механико-математического факультета МГУ (я был сотрудником этой кафедры).
По поводу теорем Гёделя я спорил с Андреем Николаевичем, однако, следуя его рекомендациям, изучал различные теории, прежде всего теоретико-множественные.
В результате мною впервые были найдены доказательства непротиворечивости многих известных теорий — доказательство непротиворечивости каждой теории строится секвенциально по Генцену на основе интеллектуальной системы - неразрешимого алгоритмического (но не логического!) аппарата одного из комбинаторно полных исчислений Шейнфинкеля - Карри - Чёрча, представляющего бести-повым образом неограниченное теоретико-множественное свёртывание Кантора(1845-1918).
Многим такие доказательства кажутся (без предъявления серьезных математических или философских обоснований), особенно в силу их длиннот и использования исчислений (без учета их специфики), очевидно противоречащими теоремам Гёделя о неполноте.