Сравнительный анализ работы классического компьютера и компьютера квантового был бы мало продуктивным без учёта открытий Гёделя. Но их открытие - результат работы человеческого мозга. Они-то и дают возможность отождествить работу мозга и работу квантового компьютера. Почему? - Да потому, что в них мы находим ключ к пониманию того, как в упорядоченной системе рассуждений возникает новая информация, выходящая за пределы такой системы. Поясним вкратце, как это происходит.
Речь идёт о рассуждениях, излагаемых на языке логики, языке исчисления предикатов. Рабочим инструментом в руках Гёделя послужило узкое, или первоступенчатое, исчисление предикатов. В теории рекурсивных вычислений и в формальных системах типа формализованной элементарной арифметики предикаты относятся только к целым положительным числам. Одноместными предикатами представляются свойства чисел, двухместными и многоместными - отношения.
Из того, что проделано Гёделем, ясно видно, что динамическая структура формальной арифметической системы характеризуется наличием в ней как обратимых, так и необратимых процессов. Над обратимыми процессами возвышается специфическая гёделева формула - показатель неполноты системы, - которая и символизирует антиэнтропийный скачок в системе. Конкретно устанавливаются следующие положения:
1) рекурсивно перечислимое множество доказуемых, средствами формальной аксиоматической системы, формул является неразрешимым;
2) множество всех дедуктивных выводов (цепочек формул), приводящих к доказуемым формулам, разрешимо в отношении этих формул;
3) не существует в рассматриваемой системе дедуктивного вывода, который привёл бы к гёделевой формуле-истине.
(Читатель, желающий разъяснить для себя более подробно содержание п.З, может обратиться к соответствующей литературе, в частности, к с. 153—170 вышеупомянутой книги [8]).
Понятие разрешимости означает, что по отношению к данной формальной системе существует алгоритм, позволяющий определить, принадлежит ли та или иная, правильно построенная, формула к множеству доказуемых формул или не принадлежит. Если доказано, что такого алгоритма не существует, тогда уже встаёт вопрос, как связан этот факт с понятием необратимости. Это - один из центральных вопросов нашей задачи. Поэтому очень важно заранее понять, как идеи термодинамики проникают в теорию формальных систем. Путь этот пролагается именно посредством теории информации.
Дело в том, что в физической теории информации понятие (количества) информации существенно связано с противоположным ему понятием энтропии. Связь такая обусловлена тем, что, согласно определению информации, информация исчезает всякий раз, когда две ранее различавшиеся ситуации становятся неразличимыми. В тех физических системах, где отсутствуют силы трения, информацию невозможно уничтожить. Ведь при уничтожении информации должно быть рассеяно и, следовательно, обесценено некоторое количество энергии за счёт её перехода в тепловую форму. Простейший пример, заимствованный нами из статьи Ш.Г. Бенье и Р. Ландауэра «Физические пределы вычислений» (см. ж. «В мире науки», 1985, №9, с.24-34), состоит в следующем. Рассматриваются две легко различающиеся ситуации. В одной из них резиновый мячик поддерживается на высоте 1м от пола, другой - на высоте 2 м. Мячики отпускаются и падают, а затем отскакивают от пола вверх. При отсутствии трения и при условии, что мячи абсолютно упругие, наблюдатель всегда сумеет сказать, каким было исходное состояние мячика (в данном случае на какой высоте он находился в начальный момент времени), поскольку мячик, упавший с высоты 2 м, отскочит выше, чем в случае, когда он падает с высоты в 1 м.
Однако при наличии сил трения при каждом отскоке мячей от пола рассеивается некоторое количество энергии. В конце концов мячи перестают прыгать и остаются лежать на полу. В таком случае мы уже лишаемся возможности определить, каковы были исходные положения того и другого мяча: мяч, упавший с высоты 2 м, будет полностью идентичен мячу, упавшему с высоты 1 м. Значит, в результате диссипации энергии, произошла утеря информации.
Примерно то же самое мы постигаем в гёделевых теоремах неполноты. Из-за того, что в формальной арифметической системе нельзя установить, является ли правильно построенная формула доказуемой или нет, все доказуемые формулы-теоремы уравниваются с правильно построенными формулами и теряются в более широком множестве правильно построенных формул. Поэтому когда мы рассматриваем рекурсивно перечислимое множество доказуемых формул, без тех последовательностей (цепочек) формул, которые к ним приводят, мы утрачиваем часть информации относительно всего дедуктивного процесса в системе и превращаем его в процесс необратимый. Мы можем сделать его обратимым, когда каждую доказуемую формулу соотнесём с соответствующим ей дедуктивным выводом, т.е. с той цепочкой дедуктивно связанных звеньев, в которой она занимает место последнего звена. Разумеется, мы должны знать заранее о том, что каждое звено дедуктивного вывода представляет собой либо аксиому, либо заранее выведенную формулу.