Как все это могло произойти?
Академик РАН Е.Фейнберг
Популярная математическая «Игра Ландау»
Ниже приводится цикл заметок из журнала Наука и жизнь об «игре Ландау в номера». Первые заметки об этой игре и ее правилах были опубликованы М.И. Кагановым в журнале «Природа» (1975, № 8.) и книгах:
«Воспоминания о Л.Д. Ландау» [1988] и [Каганов, 1988]. В юности я слышал об этой игре от матери, а позже прочел о ней в упомянутых книгах. На меня произвели особенное впечатление номера, не решенные Ландау («неподдающиеся случаи», по словам М.И. Каганова), а также следующие слова из диалога Каганова с Ландау:
«Всегда ли можно “сделать” равенство из автомобильного номера?» — спросил я у Ландау. — «Нет», — ответил он весьма определенно. — Вы доказали теорему о несуществовании решения?» — удивился я. — «Нет», — убежденно сказал Лев Давидиович, — но не все номера у меня получались».
Несмотря на это один из харьковских математиков нашел формулу общего решения этой игровой задачи Ландау. В своих заметках М.И. Каганов не указал его имени, но в ответе на мое письмо к нему вспомнил, что «это был Юра Палант». Математик нашел довольно громоздкую формулу, представляющую собой суперпозицию нескольких тригонометрических функций, в т. ч. аркфункций. «Работает» она медленно, шаг за шагом уменьшая одну из цифр в номере на единицу, до тех пор пока обе пары цифр не сравняются. «Я привел доказательство Ландау. Оно ему очень понравилось…, — пишет Каганов — и мы полушутя, полусерьезно обсуждали, не опубликовать ли его в каком-нибудь научном журнале».
Мне показалось, что игра Ландау заслуживает дальнейшей популяризации. Она дает огромный набор примеров любого уровня сложности, от простейших тестов для школьников до весьма сложных частных или даже общих решений, достигающих «олимпиадного уровня». Мне также удалось найти простое новое общее решение задачи Ландау, которое мгновенно, в отличие от решения Юрия Паланта, обеспечивает равенство любых пар цифр. Оно достигается, если потребовать равенства синусов от факториального аргумента, выраженного в градусах, что приводит к равенству нулей (во всех сложных случаях). Я написал заметку на эту тему в журнал Наука и жизнь. После публикации редакция получила массу писем с весьма остроумными частными решениями конкретных трудных случаев. Был получен также один новый вариант общего решения (в письме кандидата физ. — мат. наук С. Федина из Московской области, Щелково-3), помещенный ниже.
Б.Горобец
Б.С.Горобец
ИГРА ЛАНДАУ В НОМЕРА
(Наука и жизнь, № 1,2000. Текст дается в варианте, поступившем в редакцию)
Друзья знаменитого физика, Нобелевского лауреата Льва Давидовича Ландау (1908–1968) вспоминают, что путешествуя в автомобиле, он часто предлагал своим спутникам поиграть в номера автомашин. Игру он сам и придумал (см. статьи М.И. Каганова и З.И. Горобец-Лифшиц в книге «Воспоминания о Л.Д. Ландау», Москва, 1988). В то время номера машин состояли из двух букв и еще двух пар цифр. Нужно было найти такие математические действия, которые позволили бы приравнять обе пары цифр. Для этого нужно подобрать и вставить в каждую пару цифр подходящие знаки действий и символы элементарных функций: +, х, √, log, lg, sin, cos, tg, ctg, sec, cosec, факториал (!) (Напомним, что факториал — знак произведения последовательности натуральных чисел 1∙2∙…∙n = n! Его раньше изучали в школьной программе в разделе «Комбинаторика».) Между обеими парами цифр необходимо вставить знак равенства.
Например, вас обгоняет автомобиль с номером 71–15. Вы тут же сообщаете спутникам: 7√1 = 15. Это очень легкий номер. А вот номер посложнее: 53–41. Приравнять его можно с помощью факториала: — (5–3!) = √4–1. Еще пример: 75–33; равенство из него: 7–5 = log√33. Обратите внимание, здесь применен способ получить 2 с помощью логарифма; этот прием можно использовать для любой пары одинаковых цифр, начиная с 22.