Конечно, сегодняшний школьник может предложить продифференцировать числа в номере, стоящие по обе стороны черточки — производная от постоянной величины равна нулю. Однако это запрещено правилами игры Ландау: дифференцирование — действие из высшей математики. К тому же такой тривиальный способ решения лишил бы игру всякого интереса, соревновательного или тренировочного.
Навык находить равенство приобретается довольно быстро. И возникает неизбежный вопрос: все ли номера можно решить? Такой вопрос и задал М.И. Каганов академику Ландау. И получил ответ: «Нет, не все». «Вы доказали теорему не существования решения?» — спросил Каганов. «Нет, но не все номера у меня получаются, — ответил Ландау. — Например, номер 75–65.»
Далее М.И. Каганов рассказывает, что он заинтересовал игрой харьковских физиков и математиков. Один из математиков, имя которого, к сожалению, не сообщается, отнесся к игре серьезно. Он вывел формулу универсального решения задачи. Вот она: — √N + 1 = sec arctg √N. Суть формулы: любое натуральное число можно выразить через число, на единицу меньшее, N используя только знаки элементарных функций, не содержащие цифр. Формулу можно применять неоднократно, вплоть до получения равенства.
Для вывода этой формулы необходимо знать, что: 1) tg arctg х = х; 2) 1/соs2x = tg2x + 1. Проделаем следующие тождественные преобразования. N + 1 = (√N)2 + 1 = tg2arctg √N +1 = 1/cos2arctg √N = sec2arctg √N. Извлекая корень из N + 1 слева и из секанса в квадрате справа, получаем окончательную формулу.
Заметим, что вот уже более 20 лет, как из школьной тригонометрии исключили секанс и косеканс. Нынешние школьники не знают, что sec x = 1/cos х, cosec х = 1/sin х и обходятся без них. В игре Ландау нельзя, однако, обойтись без секанса, так как выражение его через косинус содержит 1 в числителе, что запрещено правилами игры.
Разумеется, полученная формула не может рассматриваться как практическое средство ведения игры, поскольку она как раз наносит смертельный удар по игре как таковой. Строго говоря, нужно ввести в правила игры пункт, запрещающий применение универсальных формул. Поиск же последних можно рассматривать как самостоятельную математическую игру более высокого уровня сложности.
В заключение приводим еще несколько примеров «неподдающихся» номеров: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37.
В наши дни номера машин стали непригодными для игры. (И слава Богу — не будут отвлекать внимание водителя. Рассказывают, что академик Е.М. Лифшиц, друг и соавтор Ландау по знаменитому курсу теоретической физики, играл с ним сидя за рулем, и нередко выигрывал.
Если под рукой нет случайных чисел, берите две последние пары цифр из телефонных номеров своих знакомых. Или придумайте другой источник номеров. Может быть; кто-то выведет новую формулу универсального решения игры Ландау.
*****
С.Н. Федин
СНОВА ОБ ИГРЕ ЛАНДАУ В НОМЕРА
(Наука и жизнь, № 4, 2000)
Ни одна пристойная игра не лишена какой-то поучительности.
Николай Кузовский. «Игра в шар»
С удовольствием прочитал заметку профессора Б. Горобца (см. Наука и жизнь № 1, 2000 г.) о занимательной игре-головоломке, придуманной в свое время академиком Л.Д. Ландау. Напомню вкратце суть игры: требуется с помощью знаков арифметических действий и символов элементарных функций (т. е. +, —, V, sin, cos, arcsin, arctg, lg и т. д.) привести к одному и тому же значению два произвольных двузначных числа. При этом допускается использование факториала (n! = 1∙2∙… n), но не допускается использование секанса, косеканса и дифференцирования.
Например, если наудачу выбрана пара чисел 32–88 (во времена Ландау в качестве случайного датчика таких пар чисел выступали четырехзначные номера проносящихся мимо машин), то искомое равенство достигается следующим образом:
√(3–2) = log88 (или менее вычурно: 3–2 = 8: 8).
Однако не все номера «решаются» так просто. В процитированной заметке автор указывает даже несколько и вовсе «неподдающихся» номеров: 59–58, 47–73, 47–97, 27–37 и 75–65 (этот номер якобы не удавалось «решить» и самому Ландау). Попутно предлагается найти какой-либо универсальный подход, единую формулу, позволяющую «решать» любую пару номеров. В заметке даже приводилась одна такая формула:
√N + 1 = sec arctg √N, позволяющая в результате неоднократного применения выразить любую цифру через любую меньшую. Однако в этой формуле используется «запрещенный» секанс (он не входит в школьную программу), а посему ее нельзя считать удовлетворительной.