47 — 97: √4 ln √7 = — ln(((√/9)!)!/7!);
27 — 37: 2ln √7 = —ln((3!)!/7!).
При этом он считает, что на самом деле решил всего один пример: последние два равенства легко получаются из первого.
B. Донченко предложил сразу несколько вариантов (аргументы тригонометрических функций нужно рассматривать в градусной мере): _
47 — 73: tg((-(√4–7))!)° = tg(7!/3!)°,
4 — sin(7!)° = 7–3;
47 — 97:4 — sin(7!)° = — (√9–7),
4 — 7 = — (√9 — sin(7!)°),
√(√4 + 7) = √9 — sin(7!)°);
27 — 37: √(2 + 7) = 3 — sin(7!)°).
C.Масилевич те же номера представляет в виде:
47 — 73: cos (4∙7!)° = lg(7 + 3);
47 — 97: cos (4∙7!)°° = cos (9∙7!)°;
27 — 37: cos (2∙7!)° = lg(3 + 7).
Семья Аюповых использовала двойной факториал!!. Этот редко применяемый символ означает произведение либо только четных чисел, либо только нечетных, в зависимости от характеристики числа, при котором он стоит (например, 6!! = 2∙4∙6, а 7!! = 3∙5∙7).
47—73: 4!! — 7 = 7–3!;
47 — 97: — 4 + 7 = √(9!!/7!!) (9!!/7!!).
В. Идпатулин обошелся без тригонометрических формул:
47 — 73: √4√7! = √(7∙(3!)!);
47 — 97: 4√7! = √(√9))∙7;
27 — 37: 2√7! = √((3!)∙7). (По его собственному признанию, этот номер получился «похуже» — двойка при квадратном корне все-таки не ставится.)
И. Довганчук (г. Новосибирск) проанализировал большое количество пар чисел и нашел, что наибольшее их число решается при помощи только арифметических и алгебраических действий, а некоторые — путем однократного применения тригонометрических функций. Однако есть номера, которые можно решить только путем двух-трехкратного применения тригонометрических функций, например:
00 — 26:,
0 + 0 = tg arcsec tg arcsec √√(-2 + 6)
К ним, по мнению автора, относятся следующие пары номеров:
00 — (26, 27, 38, 47, 57, 58, 62,68, 72, 74, 83, 85, 86);
01 — (27, 47, 58, 72, 74, 85);
05 — (26, 57, 62, 68, 75, 86);
06 — (57, 75);
07 — (26, 38, 57, 58, 62, 68, 75, 83, 85, 86);
08 — (27, 38, 47, 57, 58, 68, 72, 74, 75, 83, 85, 86);
10 — (27, 47, 58, 72, 74, 85);
70 — (58, 85);
80 — (27, 47, 58, 72, 74, 85).
Их он предлагает попытаться решить без применения тригонометрии. Думается, у читателей это должно получиться. Дело упрощает то, что по определению 0! = 1, и некоторые пары получают очень простое выражение:
00 — 68: 0! + 0! = — 6 + 8;
07 — 26: 0! + 7 = 2 + 6;
00 — 38: 0! + 0! = 3√8;
05 — 62: 0! — 5 = — (6–2).
Игра Ландау в номера продолжается.
(Наука и жизнь, № 12, 2001)
<…> Публикуем еще одно общее решение, найденное автором заметки «Игра Ландау в номера», и анализ возможных комбинаций чисел в номерах, проделанный читателем из Новосибирска.
<Письмо 1>
Возьмем произвольный номер a,b — c,d и рассмотрим три случая.
1. Пусть среди цифр нет нулей. Составим из них два числа ab и сd, (это, разумеется, не произведения) Покажем, что при n >= 6
sin [(ab)!]° = sin [(cd)!]° = 0.
Действительно, sin (n!)° = 0, если n >= 6, так как sin (6!)°= sin 720°= sin 2∙360° =0. Любой факториал получается умножением 6! на последующие целые числа: 7! = 6!7, 8! = 6!•7•8 и т. д., давая кратное число раз по 360° в аргументе синуса, делая его (и тангенс тоже) равным нулю
2. Пусть в какой-то паре цифр есть ноль. Умножаем его на соседнюю цифру и приравниваем к синусу факториала в градусах, взятого от числа в другой части номера.
3. Пусть в обеих частях номера имеются нули. При умножении на соседние цифры они дают тривиальное равенство 0=0.
Разбиение общего решения на три пункта с умножением на ноль в пунктах 2 и 3 связано с тем, что sin (n!)°=/ 0, если n < 6.
Разумеется, нетрудно построить аналогичным образом общее решение, сводя левую и правую части к равенству косинусов от дуг, кратных полным окружностям, что даст 1 = 1.
Попутно отметим, что частные решения, предложенные В. Донченко (Наука и жизнь № 6, 2001) с использованием sin (7!)°, по существу реализуют ту же идею.
Таким образом, игра Ландау проходит и развивается двумя путями: Во-первых, идет поиск частных решений, множество интереснейших вариантов которых было предложено читателями журнала. А во-вторых, проходит не менее захватывающая работа по отысканию общих решений. Естественно, что все они автоматически запрещаются для применения в игре, ибо в противном случае игра перестает быть таковой.
На сегодня имеется три общих решения, находящиеся в разрешенных правилами рамках элементарной математики.
1. Решение неизвестного харьковского математика, сообщенное учеником Ландау профессором М. Кагановым <уже после выхода этой заметки М. Каганов сообщил его имя — Юрий Палант> Оно содержит «архаичный» секанс и сводит любое число к числу, на единицу меньшему, позволяя в конце концов получить равенство в любой паре номеров (Наука и жизнь № 1,2000):