Так, от юношеской переписки у А.М. Ляпунова чебышевских лекций по теории вероятностей до активной защиты творческого наследия великого русского ученого, от лекций по математике в университете, от математических собеседований в академии с профессором Коркиным к воскрешению математической физики как науки полнокровной, к окончательному разрешению многих ее задач — вот кредо Крылова-математика.
Предваряя свою книгу по математической физике, отметившей было в первой половине XIX века свой закат после блестящего и бурного расцвета в XVIII, Крылов писал: «…я придерживался главным образом способов изложения «старых авторов»: Фурье, Пуанссона, Коши, для которых главная цель состояла в нахождении решения, а не в безукоризненно строгом его обосновании и не в доказательстве его существования в общем случае или при установленных необходимых ограничениях».
Крылов обращается к вопросам колебания — решение некоторых из них, с его точки зрения, имеет принципиальное значение в технике. В основе крыловского исследования метод Фурье, обобщаемый с учетом возникновения вынужденных колебаний. В математическом построении исследователя — неоднородные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными. Вынуждающая сила при избранных Крыловым предельных условиях входит лишь в уравнение.
От мемуара о вынужденных колебаниях стержней постоянного сечения — к фундаментальному труду «О некоторых дифференциальных уравнениях, имеющих приложение в технических вопросах». Невозможно еще и еще раз не повторить: в любых, в том числе и в математических, теоретических исследованиях для Крылова обязателен выход на объект практического приложения результатов решений. Естественно, хотя это вовсе и не закон для него, объектом для исследования колебаний Крылову служит корабль. Непосредственно — паровая машина, например, где исследуются крутильные колебания вала с маховиком на конце или колебания стенок каморы 12-дюймовой пушки.
Язык математики — это числа, сведение к ним любой проблемы — любимейшее занятие Крылова. Его приверженность, его неравнодушие к числу, ко всякого рода исчислениям пронизывают даже прозу. Именно таким кажется отрывок, в котором Крылов вспоминает профессора Коркина:
«Как на русском, так и на иностранных языках существовало множество курсов дифференциального и интегрального исчисления, но Коркин не придерживался ни одного из них и, можно сказать, не столько читал, как диктовал нам свой совершенно оригинальный курс, отличавшийся особенною точностью определений, краткостью, естественностью и изяществом выводов всех формул, отсутствием той излишней щепетильности и строгости, которая не поясняет для техников, каковыми мы были, а затемняет дело и которая необходима лишь для математиков, изучающих математику как безукоризненную область логики, а не как орудие для практических приложений».
Право, перед нами поэзия чисел, проступающая сквозь мемуарную прозу! И не диво, ибо для автора математика вечно юный, неиссякаемый источник вдохновения.
И не диво, что с легкостью и непринужденностью истинного поэта Крылов выводит метод составления векового уравнения, приводя системы уравнений к одному уравнению высшего порядка, о чем свидетельствует работа «О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем».
За внешней легкостью и простотой приемов в решениях извечных математических задач, как за легкостью и простотой истинной поэзии, стоит, разумеется, напряженная работа мысли, изнуряющая и вдохновляющая одновременно.
Обращаясь к началу своей преподавательской деятельности, Крылов отмечал: «Я вскоре заметил, что во всех справочниках, как русских, так и иностранных, рекомендуемые приемы вычислений могут служить образцом того, как этих вычислений делать не надо. Приступив в 1892 г. к чтению курса теории корабля (в 1891 г. мне пришлось, главным образом, читать динамику корабля), я предпослал этому курсу основания о приближенных вычислениях вообще и в приложении к кораблю в частности, выставляя как принцип, что вычисление должно производиться с той степенью точности, которая необходима для практики, причем всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра — половину ошибки».