1. Заменить последнюю цифру числа следующей цифрой, имеющейся в этой системе (например, в числе 7855 заменить последнюю 5 на 6).
2. Если последняя цифра числа является наибольшей в этой системе, то ее следует заменить на наименьшую, а затем сдвинуться на одну колонку влево и заменить стоящую здесь цифру на старшую.
3. Если в этой колонке стоит наибольшая цифра системы, то надо повторять действие, предусмотренное предыдущим правилом, до тех пор, пока не встретится колонка, допускающая замену стоящей в ней цифры на старшую.
Попробуем, например, применить эти правила для перехода от числа 499 к следующему числу. Последняя цифра этого числа 9 является наибольшей цифрой в десятичной системе счисления, и согласно правилу 2 ее следует заменить на нуль. Сдвинувшись затем на одну колонку влево, видим, что и здесь стоит цифра 9. Согласно правилу 3 ее также заменяем на нуль, а затем, передвинувшись в следующую колонку, заменяем 4 на 5. В результате от числа 499 мы перейдем к числу 500.
Вот теперь, располагая методом, позволяющим переходить от одного числа к другому, мы можем утверждать, что ведем счет чисел по определенной системе; в нашем случае по десятичной.
Согласно этой системе сначала накапливаются единицы вплоть до 9. Следующее число 10 образуется двумя цифрами, ранее использованными для счета единиц. Цифра 1, записанная во второй колонке слева, или, как говорят, во втором разряде, означает, что счет теперь ведется десятками. Переход в третий разряд соответствует счету сотен и т. д. Число 499 фактически представляет собой 4 · 102 + 9 · 101 + 9 · 100 = 499.
Число 7856 в действительности есть 7 · 103 + 8 · 102 + 5 · 101 + 6 · 100 = 7856.
А число 4,99 равно 4 · 100 + 9 · 10–1 + 9 · 10–2 = 4,99.
Таким образом, в десятичной системе счисления каждое число представляет собой сумму различных степеней числа 10, то есть числа, равного количеству различных символов этой системы.
Само собой разумеется, что не только десятичная, но и любая другая система счисления подчинена определенным правилам. Попытаемся изобрести еще одну систему (кстати, она уже давно служит людям). Для этого припишем отверстию в перфоленте или импульсу тока символ единицы; отсутствию отверстия или паузе — символ нуля. Теперь мы располагаем двумя символами 1 и 0. Оказывается, они могут составить основу новой системы счисления, которая будет называться двоичной. В ней любые числа записываются в виде той или иной комбинации всего лишь двух цифр — нуля и единицы. Однако правила перехода от одного числа к следующему в двоичной системе точно такие же, что и в десятичной.
Первые две цифры 0 и 1 в обеих системах одинаковы, однако уже для числа 2 в двоичной системе отдельного символа нет. Эквивалентная ему цифра образуется использованием уже имеющихся двух цифр и записывается так: 10. Чтобы избежать путаницы, будем число 2 читать: один-ноль.
Следующее число получим, пользуясь приведенными выше правилами. Согласно первому из них оно запишется как 11.
Для записи следующего числа нам придется применить правило 3 и использовать запись уже в трех разрядах: получим — 100. Следующими числами в двоичной системе будут 101, 110, 111; затем будут следовать четырехразрядные числа 1000, 1001, 1010 и т. д. В таблице приведены эти числа вместе с соответствующими им десятичными числами.
0 / 0
1 / 1
2 / 10
3 / 11
4 / 100
5 / 101
6 / 110
7 / 111
8 / 1000
9 / 1001
10 / 1010
11 / 1011
12 / 1100
13 / 1101
14 / 1110
15 / 1111
16 / 10000
17 / 10001
18 / 10010
19 / 10011
20 / 10100
Как в десятичной системе любое число представляет собой сумму различных степеней числа 10, так в двоичной системе любое число представляет собой сумму различных степеней числа 2.
Таким образом, десятичное число, эквивалентное числу 1101, записанному в двоичной системе, будет равно:
1101 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1=8 + 4 + 1 = 13.
Ниже приведены числа, представляющие различные степени двойки; с их помощью легко отыскиваются десятичные эквиваленты двоичных чисел:
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
211 = 2048
212 = 4096