Одним из наиболее важных результатов теории фотосфер должно быть получение распределения энергии в непрерывном спектре звезды. Путём сравнения теоретического и наблюдённого распределения энергии в звёздном спектре можно сделать проверку правильности предположений, положенных в основу теории.
Последовательное развитие теории звёздных фотосфер и атмосфер отражено в книгах Э. Милна [1], С. Росселанда [2], В. А. Амбарцумяна [3].
§ 1. Лучистое равновесие звёздной фотосферы
1. Поле излучения.
Поскольку наша ближайшая задача состоит в анализе поля излучения в фотосфере, то прежде всего мы должны ввести величины, характеризующие поле излучения.
Основной из таких величин является интенсивность излучения. Эта величина определяется так. Возьмём в данном месте пространства элементарную площадку, перпендикулярную к направлению излучения. Если величина площадки есть 𝑑σ, а излучение падает в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в телесном угле 𝑑ω за время 𝑑𝑡, то количество лучистой энергии 𝑑𝐸ν, падающее на площадку, будет пропорционально 𝑑σ 𝑑ν 𝑑ω 𝑑𝑡, т.е. будет равно
𝑑𝐸
ν
=
𝐼
ν
𝑑σ
𝑑ν
𝑑ω
𝑑𝑡
.
(1.1)
Коэффициент пропорциональности, входящий в эту формулу, и называется интенсивностью излучения. Можно сказать, что интенсивность излучения есть количество лучистой энергии, падающее в единичном интервале частот за единицу времени в единичном телесном угле на единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению излучения. Вообще говоря, интенсивность излучения зависит от координат данной точки, от направления излучения и от частоты ν. Если интенсивность излучения задана, то легко могут быть определены и другие величины, характеризующие поле излучения. Одной из них является плотность излучения ρν, представляющая собой количество лучистой энергии в единичном интервале частот, находящееся в единице объёма.
Чтобы выразить ρν через 𝐼ν, поступим следующим образом. Допустим сначала, что излучение интенсивности 𝐼ν падает на площадку 𝑑σ перпендикулярно к ней в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡 внутри малого телесного угла Δω. Тогда количество лучистой энергии, падающее на площадку, будет равно 𝐼ν 𝑑σ 𝑑ν 𝑑𝑡 Δω. Очевидно, что эта энергия займёт объём 𝑑σ 𝑐 𝑑𝑡 где 𝑐 — скорость света. Поэтому количество лучистой энергии, приходящееся на единицу объёма, будет равно 𝐼ν 𝑑ν Δω/𝑐. С другой стороны, та же величина по определению равна ρν 𝑑ν Следовательно, в рассматриваемом случае
ρ
ν
=
𝐼
ν
Δω
𝑐
.
(1.2)
В общем же случае, когда на данный объём падает излучение со всех сторон, плотность излучения ρν выразится формулой
ρ
ν
=
1
𝑐
∫
𝐼
ν
𝑑ω
,
(1.3)
где интегрирование производится по всем телесным углам.
Рис 1.
Через интенсивность излучения легко также выразить поток излучения 𝐻ν, представляющий собой количество лучистой энергии, протекающей во всех направлениях через единичную площадку в единичном интервале частот за единицу времени. Чтобы сделать это, рассмотрим сначала излучение, проходящее через площадку 𝑑σ в направлении, составляющем угол θ с её внешней нормалью (рис. 1). В данном случае площадь элементарной площадки, перпендикулярной к направлению излучения, равна 𝑑σ cosθ. Поэтому количество лучистой энергии, протекающее через площадку 𝑑σ под углом θ к нормали внутри телесного угла 𝑑ω за время 𝑑𝑡 в интервале частот от ν до ν+𝑑ν, будет равно 𝐼ν 𝑑σ cosθ 𝑑ν 𝑑𝑡 𝑑ω. Если мы проинтегрируем это выражение по всем направлениям, то получим величину, которая, по определению, равна 𝐻ν 𝑑σ 𝑑𝑡 𝑑ν. Следовательно,
𝐻
ν
=
∫
𝐼
ν
cosθ
𝑑ω
.
(1.4)
В сферической системе координат с полярной осью, направленной по внешней нормали к площадке 𝑑σ, элемент телесного угла равен 𝑑ω=sinθ 𝑑θ 𝑑φ, где φ — азимут направления излучения. Поэтому выражение для потока излучения может быть переписано в виде
𝐻
ν
=
2π
∫
0
𝑑φ
π
∫
0
𝐼
ν
cosθ
sinθ
𝑑θ
.
(1.5)
Так как cosθ<0 при θ>π/2, то из формулы (1.5) следует, что поток излучения 𝐻ν является разностью двух положительных величин:
𝐻
ν
=
ℰ
ν
-
ℰ'
ν
,
(1.6)
где
ℰ
ν
=
2π
∫
0
𝑑φ
π/2
∫
0
𝐼
ν
cosθ
sinθ
𝑑θ
(1.7)
и
ℰ'
ν
=-
2π
∫
0
𝑑φ
π
∫
π/2
𝐼
ν
cosθ
sinθ
𝑑θ
.
(1.8)
Величина ℰν представляет собой освещённость площадки с одной стороны, а величина ℰ'ν — освещённость площадки с другой стороны. Таким образом, поток излучения через какую-либо площадку есть разность освещённостей этой площадки.
Отметим важное свойство интенсивности излучения: в пустом пространстве (т.е. при отсутствии в нём поглощения и испускания лучистой энергии) интенсивность излучения не меняется вдоль луча.
Для доказательства этого свойства возьмём на луче две элементарные площадки, расположенные перпендикулярно к лучу на расстоянии 𝑠 друг от друга. Пусть 𝑑σ и 𝑑σ' — площади этих площадок, а 𝑑ω и 𝑑ω' — телесные углы, под которыми с одной площадки видна другая. Рассматривая лучистую энергию, проходящую через обе площадки, мы можем написать: 𝐼ν𝑑σ 𝑑ω=𝐼'ν𝑑σ' 𝑑ω', где 𝐼ν и 𝐼'ν — интенсивность излучения, падающего на одну и другую площадку соответственно. Но 𝑑ω=𝑠²𝑑σ' и 𝑑ω'=𝑠²𝑑σ. Поэтому, как и утверждалось, имеем 𝐼ν=𝐼'ν
Из сказанного, в частности, следует, что интенсивность солнечного излучения на расстоянии от Солнца до Земли такая же, как и при выходе его из Солнца. Очевидно, однако, что плотность и поток излучения убывают по мере удаления от Солнца.
2. Уравнение переноса излучения.
Выше уже было сказано, что в пустом пространстве интенсивность излучения не меняется вдоль луча. Теперь мы допустим, что пространство заполнено средой, способной поглощать и испускать лучистую энергию. В таком случае интенсивность излучения будет меняться вдоль луча, и мы сейчас выведем уравнение, описывающее это изменение. Однако предварительно введём в рассмотрение величины, характеризующие поглощательную и испускательную способность среды.