Отметим и то обстоятельство, что на приведенной таблице Кэли яснейшим образом видна сущность перво–принципа. Ведь всякий первопринцип (как это мы хорошо знаем, и прежде всего из § 23) присутствует в соответствующей ему сфере бытия совершенно одинаково и самотождественно, являясь в то же время и принципом всякого различия. В нашей таблице в каждом элементе группы одинаково и целиком присутствует идея определенного рода композиции двух элементов. Элементы везде тут разные, да и результат композиции везде разный. Но самая композиция формально везде одна и та же, и ее результат в этом смысле везде один и тот же.
c) Пойдем дальше. За становлением идет ставшее, наличное бытие. Наша композиция и все ее результаты пусть застынут в некоей твердой данности. Чем определяется эта твердая данность? В каком виде все элементы будут утверждены в качестве факта? Когда мы в § 65 переходили в область арифметических операций от становления к ставшему, мы столкнулись с т. н. законом счета. Как ведут себя элементы группы в этом смысле и применим ли к понятию группы этот способ рассуждения вообще?
Не без удивления мы находим в определениях понятия группы точные указания на эти законы. А именно, 1) утверждается, что композиция группы обязательно обладает ассоциативным законом, т. е. что (Φτ) и= φ(τυ), и что, стало быть, выражение φτυ имеет также вполне определенный, единственный смысл, что и φτ. С другой стороны, коммутативный закон совсем не обладает такой обязательностью, так что, вообще говоря, φτ ≠ τφ и все группы делятся на коммутативные (Абелевы) и некоммутативные.
d) Но в особенности ярко торжествует свою победу наша пятиступенная диалектика, когда мы задаемся вопросом о том, где же завершительный, выразительный момент определения понятия группы и как на своем языке выражают его математики. Его можно выразить более общо и менее общо. Для первого случая вспомним, какую форму принимало у нас выражение в применении к действиям. Арифметическая операция превращается тут в целый комплекс действий, который в иной комбинации своих направлений оказывается уравнением. Уравнение всегда выразительно, давая метод движения от внешнего неизвестного к известному внутреннему или от внешнего известного к внутреннему неизвестному. Если к элементам; группы применим принцип уравнений, т. е. если уравнения с неизвестными в качестве элементов группы обязательно разрешимы, то возможность этих уравнений и обеспечит нам искомую выразительность определения понятия группы. Действительно, если принять во внимание возможную некоммутативность, то, оказывается, для каждой группы уравнения
φχ=τ
yφ=τ
обязательно разрешимы если, конечно, φ не равно нулю), и притом однозначно разрешимы. Это звучит, однако, довольно отвлеченно, и мы можем употребить тут гораздо более конкретные выражения.
А именно, из предыдущих уравнений вытекает, что необходим и случай φχ=φ, т. е. необходимо, чтобы если φ не равно единице, то оно в иных случаях и равнялось единице. Точно так же уравнение φχ = τ разрешимо только тогда, когда возможен и случай φχ=1, т. е. когда имеется некое φ такое, что φ · φ –1= 1. Это сразу накладывает резкий отпечаток на понятие группы; и в руководствах по теории групп в качестве обязательных моментов определения содержатся еще и такие два: в системе, именуемой «группа», существует элемент–единица, т. е. такой элемент ε, что для любого φ системы имеется φε = εφ = φ; и для любого элемента φ системы существует в системе обратный элемент, такой, что φ φ» 1= 1.
Кажется, нефилософ и недиалектик не может и прикоснуться к пониманию подлинного категориального значения для двух обязательных элементов каждой группы, элемента–единицы и обратного элемента. Кажется, еще никому из математиков не пришло в голову понимать эти элементы как выразительные формы логического определения понятия группы. А между тем совершенно неясно, зачем говорится об этих элементах уже в определении группы. Если математики вводят их в определение, то вовсе не потому, что они имеют потребность в логической системе, и вовсе не потому, что понимают весь логически–завершительный смысл этих двух элементов в понятии группы, но исключительно только потому, что в иных группах, а в особенности в геометрических (напр., в группе вращений), эти элементы обладают неотразимой очевидностью, и бьющей в глаза очевидностью, так что, давая после этого общее определение группы, уже никак нельзя обойти упоминания об элементе–единице и обратном элементе. Таким образом, если математики и вводят это упоминание в самое определение группы, то исключительно в результате ползучего эмпиризма, но никак не в результате диалектической ясности самого понятия группы. Тем более нужно быть благодарным исследователям, впервые захотевшим представить это понятие во всей его кристально–философской ясности.
Необходимо, между прочим, отметить, что как из однозначной разрешимости указанных уравнений вытекает наличие элемента–единицы и обратного элемента, так и из этого наличия вытекает однозначная разрешимость этих уравнений. Поэтому выразительный характер общих элементов группы нужно понимать не только в связи с приведенными уравнениями, но и самостоятельно, из них самих. В этом случае, однако, выразительная форма, пожалуй, еще ощутимее. Дело в том, что все предыдущие моменты определения понятия группы обладают слишком принципиальным характером и ничего не говорят о реальном протекании в ней композиционного принципа. Элемент единица указывает, напротив того, на некое начало реального оформления группы, т. е. оформления как чего–то целого, а обратный элемент указывает на разнообразные смысловые направления, господствующие в реальном организме группы. То и другое, несомненно, свидетельствует о конкретной выразительности группы.
2. Усвоивши себе логический состав самого понятия группы, обратимся к примерам группы, потому что только здесь можно вполне ощутительно воспринять то, о чем отвлеченно говорит диалектика понятия.
a) Укажем прежде всего чисто числовые, т. е. в собственном смысле арифметические, группы.
Группой является уже самый обыкновенный натуральный ряд чисел, и притом в разнообразном смысле. Пусть, напр., композицией является сложение. Какие бы два числа из натурального ряда мы ни взяли, их сумма безусловно окажется в том же самом натуральном ряду. Пусть композицией будет умножение. И опять, какие бы два числа ни взять, их произведение все равно принадлежит натуральному ряду. Допустим, что у нас имеется совокупность чисел натурального ряда, обладающая тем признаком, что разность каждых двух чисел относится к этой совокупности. Говорится, что число а сравнимо с числом Ъ по модулю с, если они при делении на с дают всегда один и тот же остаток. При такой точке зрения натуральный ряд чисел разбивается на ряд классов, в каждом из которых содержатся все числа, сравнимые между собою по данному модулю. Если у нас модуль = 5, то мы получаем следующий ряд рядов, или классов чисел:
0, 5, 10, 15 …
1, 6, 11, 16 …
2, 7, 12, 17 …
3, 8, 13, 18 …
4, 9, 14, 19 …
Дальнейшие классы, очевидно, были бы только повторением уже данных, и, следовательно, классов возможно здесь столько, каково количественное значение модуля. Все эти пять классов чисел, на которые разбивается натуральный ряд чисел по модулю 5, образуют собою модуль в широком смысле, или вид группы. Легко увидеть на такой группе применение всех указанных выше моментов определения группы.
Из области чисел возможны и более сложные групповые построения. Так, напр., из теории групп можно вывести малую теорему Ферма.
b) Приведем пример группы функций, а именно рациональных функций. Пусть мы имеем, напр., такие шесть функций:
Простым вычислением убеждаемся, что эти функции являются элементами некоей единой группы, если под композицией понимать получение функции от функции, т. е. подстановку в одну из функций функции другой функции вместо. Точно так же все целые функции комплексного переменного образуют группу, если под композицией понимать опять получение функции от функции: целая функция от целой всегда будет тоже целая.
с) Однако особый интерес представляют геометрические группы. Рассмотрим, напр., группу вращений какой–нибудь плоской фигуры. Возьмем равносторонний треугольник лвс и посмотрим, как его можно вращать так, чтобы в результате вращения он совпадал с самим собою. Если мы перечислим все такие способы вращения, они образуют собою группу вращений. Оказывается, таких способов существует шесть: 1) оставление данного треугольника в покое; 2) поворот вокруг центра на 120°, чтобы в попало в а, С—в в и а—в С; 3) поворот вокруг центра на 240° (или на 120° в обратную сторону), чтобы С попало в а, а—в в и в—в С; 4) поворот на 180° вокруг оси ad; 5) то же вокруг be; 6) то же вокруг cf. Будем понимать под композицией замену двух вращений соответствующим эквивалентом в виде одного вращения. В таком случае нетрудно убедиться, что шесть указанных вращений образуют группу, потому что каждые два из них образуют какое–нибудь третье (напр., соединение вращений 2–го и 5–го дает 6–е).